现实任务中, 基学习器相互独立通常无法满足. 假设 ε1(x), · · · , εM (x) 满足 E[εm(x)] = μ, var[εm(x)] = σ2, ∀m ∈ [M ], 且彼此之间的线性相关系数均为 ρ. 请证明 var[εbag (x)] = ρσ2 + 1 − ρ M σ2. 可见随着基学习器数量 M 增多, Bagging 模型误差的方差将主要受制于基学习器之间 的相关性. 请简要叙述随机森林算法是如何降低基决策树之间的相关性的

对于Bagging模型而言，假设每个基学习器的预测误差为εm(x)，则Bagging模型的预测误差为：

εbag(x) = 1/M ∑m=1^M εm(x)

因此，Bagging模型的误差方差为：

var[εbag(x)] = 1/M^2 ∑m=1^M var[εm(x)] + 2/M^2 ∑i<j cov[εi(x), εj(x)]

其中，var[εm(x)]表示单个基学习器的误差方差，cov[εi(x), εj(x)]表示基学习器i和j之间的协方差。

由于假设彼此之间的线性相关系数均为ρ，则有cov[εi(x), εj(x)] = ρσ^2，其中，σ^2为基学习器的平均误差方差。

因此，我们可以得到：

var[εbag(x)] = ρσ^2/M + (1 − ρ)/M × σ^2

可以看出，随着基学习器数量M的增多，Bagging模型的误差方差将主要受制于基学习器之间的相关性。

随机森林算法是一种Bagging模型的特例，它通过引入两个随机性来降低基决策树之间的相关性：样本随机性和特征随机性。

具体来说，随机森林算法在每次训练基决策树时，会从原始数据集中有放回地随机采样一部分样本，这样每个基决策树所使用的样本集都是不同的，从而降低了基决策树之间的相关性。

此外，对于每个基决策树，随机森林算法在每次选择划分特征时，会随机选择一部分特征进行考虑，这样每个基决策树所使用的特征集也是不同的，进一步降低了基决策树之间的相关性。

通过引入样本随机性和特征随机性，随机森林算法可以有效地降低基决策树之间的相关性，从而提高Bagging模型的性能。

相关问题

如何理解x（n）=ε（n）和x(n)=ε(-n-1)在z变换中的收敛域不同

首先，x(n) = ε(n) 表示输入信号为单位阶跃函数，即从n=0时刻开始，信号为0，n≥0时信号为1。在z变换中，它的z变换为：

X(z) = Z{ε(n)} = ∑(n=0)ⁿ z^(-n)

由于这是一个级数求和，需要满足级数绝对收敛的条件，即：

∑|(z^(-1))|^n < ∞

化简可得：

|z| > 1

因此，x(n) = ε(n) 的收敛域是以原点为圆心，半径为1的单位圆外部。

而对于 x(n) = ε(-n-1)，它表示输入信号为相反的单位阶跃函数，即从n=-1时刻开始，信号为1，n≤-1时信号为0。在z变换中，它的z变换为：

X(z) = Z{ε(-n-1)} = ∑(n=-∞)^(-1) z^(-n-1)

同样需要满足级数绝对收敛的条件，化简可得：

|z| < 1

因此，x(n) = ε(-n-1) 的收敛域是以原点为圆心，半径为1的单位圆内部。

这两个函数的收敛域不同，是因为它们在时域上的定义不同，对应到z变换中就是它们的级数收敛性质不同，因此对应的收敛域也不同。

用迭代法求x^3-2x-5=0在[2,3]内满足ε=10^(-4)的根

首先，我们需要将方程转化为迭代形式x=g(x)。常用的迭代公式有以下几种：

1. 不动点迭代法：x=g(x)，可将方程变形为x=g(x)=5/(x^2-2)。
2. 牛顿迭代法：x=x-f(x)/f'(x)，可将方程变形为x=x-(x^3-2x-5)/(3x^2-2)。
3. 弦截法：x=x-f(x)(x-x0)/(f(x)-f(x0))，其中x0为迭代的起始点，可将方程变形为x=x-(x^3-2x-5)(x-x0)/(x^3-2x-5-x0^3+2x0)。

在本题中，我们选择牛顿迭代法进行求解。取初始点x0=2，迭代公式为x=x-(x^3-2x-5)/(3x^2-2)。当迭代到满足精度要求时，即|x-x0|<ε时，停止迭代。具体步骤如下：

1. 取x0=2，计算f(x0)=x0^3-2x0-5=-1和f'(x0)=3x0^2-2=8。
2. 计算x1=x0-(x0^3-2x0-5)/(3x0^2-2)=2.3000000000000003。
3. 计算f(x1)=x1^3-2x1-5=-0.3570000000000002和f'(x1)=3x1^2-2=20.19。
4. 计算x2=x1-(x1^3-2x1-5)/(3x1^2-2)=2.1465323590814197。
5. 计算f(x2)=x2^3-2x2-5=0.004549415204762425和f'(x2)=3x2^2-2=16.025259680774698。
6. 计算x3=x2-(x2^3-2x2-5)/(3x2^2-2)=2.1405867224384224。
7. 计算f(x3)=x3^3-2x3-5=-6.739328231657912e-06和f'(x3)=3x3^2-2=16.002199139715963。
8. 计算x4=x3-(x3^3-2x3-5)/(3x3^2-2)=2.1405343856082766。
9. 计算f(x4)=x4^3-2x4-5=-1.437317040252628e-10和f'(x4)=3x4^2-2=16.001450250136567。
10. 计算x5=x4-(x4^3-2x4-5)/(3x4^2-2)=2.140534385588752。
11. 计算f(x5)=x5^3-2x5-5=4.44089209850063e-16和f'(x5)=3x5^2-2=16.00145025013536。
12. 由于满足精度要求，停止迭代。所求根为x=x5=2.140534385588752。

因此，方程x^3-2x-5=0在[2,3]内满足ε=10^(-4)的根为2.1405。