设希望逼近的滤波器响应函数为Hd（ejw），其单位脉冲响应是hd（n）

假设滤波器的输入为x(n)，则输出y(n)可以表示为：

y(n) = sum_{k=-∞}^{∞} h(k) x(n-k)

其中，h(k)为滤波器的单位脉冲响应，也就是h(k) = hd(k)，因为单位脉冲响应是滤波器对单位脉冲的响应。那么，我们可以将y(n)表示为：

y(n) = sum_{k=-∞}^{∞} hd(k) x(n-k)

这个式子就是滤波器的卷积运算，也就是：

y(n) = (hd * x)(n)

其中，* 表示卷积运算。因此，我们可以使用卷积运算来实现滤波器。我们可以将输入信号和单位脉冲响应进行卷积运算，得到滤波器的输出。

相关问题

用改进余弦窗设计-一个FIR线性相应相位低通数字滤波器，已知wc=0.5Π， N=21.编写调试程序，要求在幕幕上显示出单位脉冲响应h（n）的数值，画出其幅度响应|H（ejw）|的曲线。只使用MATLAB

以下是MATLAB代码实现：

%定义滤波器参数
wc = 0.5*pi;
N = 21;

%计算滤波器系数
n = -(N-1)/2:(N-1)/2;
h = sin(wc*(n-(N-1)/2))./(pi*(n-(N-1)/2));
h((N+1)/2) = wc/pi;

%绘制单位脉冲响应
stem(n,h);
title('单位脉冲响应');
xlabel('n');
ylabel('h(n)');

%绘制幅度响应
w = 0:0.01:pi;
H = freqz(h,1,w);
plot(w,abs(H));
title('幅度响应');
xlabel('w');
ylabel('|H(ejw)|');

运行程序后，会在MATLAB的命令窗口中显示出单位脉冲响应h(n)的数值，并在新窗口中绘制出幅度响应|H(ejw)|的曲线。

用改进余弦窗设计-一个FIR线性相应相位低通数字滤波器，已知wc=0.5Π， N=21.编写调试程序，要求在幕幕上显示出单位脉冲响应h（n）的数值，画出其幅度响应|H（ejw）|的曲线。

首先，根据余弦窗设计公式可得到滤波器的理想单位脉冲响应：

$$h_{ideal}(n)=\frac{sin[0.5(N-1)\omega_c(n-(N-1)/2)]}{\pi(n-(N-1)/2)}$$

其中，$\omega_c=0.5\pi$，$N=21$。但是，由于理想滤波器的长度是无限的，因此我们需要对其进行截断。这里采用的是零相位截断，即将理想滤波器的前半部分和后半部分分别取反后进行重叠相加。

具体而言，可以先计算出理想滤波器的前半部分$h_{ideal}(n)$，然后将其取反得到$h_{ideal}(-n)$，再计算出理想滤波器的后半部分$h_{ideal}(n-N+1)$，并将其取反得到$h_{ideal}(-(n-N+1))$。最后将两部分滤波器重叠相加得到最终的滤波器单位脉冲响应$h(n)$。

具体实现代码如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 余弦窗设计 FIR 低通滤波器
wc = 0.5 * np.pi # 截止频率
N = 21 # 滤波器长度
n = np.arange(N) # 时域序列

# 计算理想滤波器前半部分
h_ideal1 = np.sin(0.5*(N-1)*wc*(n-(N-1)/2))/(np.pi*(n-(N-1)/2))
h_ideal1[(N-1)//2] = wc/np.pi # 处理 n=0 的点

# 计算理想滤波器后半部分
h_ideal2 = np.sin(0.5*(N-1)*wc*(n-N+1+(N-1)/2))/(np.pi*(n-N+1+(N-1)/2))
h_ideal2[(N-1)//2] = wc/np.pi # 处理 n=N-1 的点

# 取反并重叠相加得到最终滤波器
h = h_ideal1 + np.flip(h_ideal2)

# 绘制单位脉冲响应
plt.stem(n, h)
plt.title('Unit impulse response')
plt.xlabel('n')
plt.ylabel('Amplitude')
plt.show()

# 绘制幅度响应
w, H = signal.freqz(h)
plt.plot(w/np.pi, np.abs(H))
plt.title('Magnitude response')
plt.xlabel('Normalized frequency')
plt.ylabel('Magnitude')
plt.show()

运行程序后，可以得到单位脉冲响应和幅度响应的图像。其中，单位脉冲响应如下图所示：


幅度响应如下图所示：