S → 0 S 1 | 0 1 文法 消除左递归,提取左因子

这是一个上下文无关文法 (Context-Free Grammar, CFG) 的例子，用于描述一种生成语言的过程，通常用于表示二进制数串。这个文法表示的是这样的序列：

- 如果开始符号 S 可以直接生成 "0" 或者 "S1"，
- 而 S1 则可以生成 "0", "1" 以及空串。

原始文法存在左递归的情况，即 S 自身可以生成 S1。为了消除左递归并提取左公共因子，我们可以对文法进行转换，以便它更清晰、非循环。下面是消除左递归后的步骤：

1. **引入一个新的中间符号**，比如 M，用来替代原来的 S1：

   M → 0 M | 1 | ε

其中 ε 表示空串，M 就是原来 S1 的简化版本。

2. **修改 S 的规则，让它不再直接生成 S1**，而是通过 M 来间接引用：

   S → 0 S | 1 S | M

3. **将原始 S1 的开始状态转移到 M 上**，这样就消除了原 S 对自身的依赖：

   S → M

现在，文法变成了：
- S → M
- M → 0 M | 1 | ε

这样，我们就成功地消除了左递归，并把左公共因子提取出来。

相关问题

给定文法G：S->Aa|Ab|c A->Ad|Se|f 消除左递归，并提取公共左因子

给定的文法G如下：

S -> Aa | Ab | c
A -> Ad | Se | f

首先，我们来消除左递归。由于S和A的产生式中都没有直接或间接的左递归，所以不需要进行左递归的消除。

接下来，我们提取公共左因子。对于S的产生式，我们可以提取出`A`作为公共左因子，对于A的产生式，我们可以提取出`S`作为公共左因子。修改后的文法如下：

S -> A x
A -> S e | A d | f

但是，这里存在一个问题，提取公共左因子后，产生了`A`产生式中的左递归。我们需要再次处理这个问题。为了避免左递归，我们可以进行如下重写：

S -> A x
A -> f A' | A'
A' -> e A' | d A' | ε

在这里，我们引入了一个新的非终结符`A'`来处理原来`A`产生式中的递归部分，`ε`表示空串。

最后，消除文法中所有的ε产生式（即可以推导出空串的产生式）。在这个例子中，`A'`产生式中存在空串，但它是必要的，因为它代表了多个`e`和`d`的可选性。因此，我们的文法已经是最简形式，无需进一步消除ε产生式。

对文法G(S)： S→(T) | aS | a T→T,S | S （1）消去文法的左递归和提取公共左因子

首先我们来看一下文法G(S)：

S → (T) | aS | a
T → T,S | S

1. 消去文法的左递归

为了消除左递归，我们需要对S的产生式进行改写。S的产生式中存在左递归，因此我们可以将其拆分为两个产生式：

S → aS'
S' → (T)S' | ε

接下来，我们需要对T的产生式进行改写。T的产生式中也存在左递归，因此我们可以将其拆分为两个产生式：

T → ST'
T' → ,ST' | ε

最终，消除左递归后的文法为：

S → aS'
S' → (T)S' | ε
T → ST'
T' → ,ST' | ε

2. 提取公共左因子

在消除左递归的基础上，我们可以进一步提取公共左因子。在这个文法中，S的产生式中存在公共左因子a，因此我们可以将其提取出来：

S → aS'
S' → (T)S' | ε
T → ST'
T' → ,ST' | ε

变成：

S → aS'
S' → (T)S' | ε
T → ST'
T' → aT' | ,ST' | ε

最终，经过消除左递归和提取公共左因子后的文法为：

S → aS'
S' → (T)S' | ε
T → ST'
T' → aT' | ,ST' | ε