期权定价的有限差分法及其python应用

期权定价的有限差分法是一种常见的数值计算方法，用于计算欧式期权的价格。下面介绍一下有限差分法的基本原理，并给出Python代码实现。

有限差分法的基本原理是将偏微分方程（即Black-Scholes方程）转化为差分方程，然后用迭代法求解差分方程的解。具体来说，我们将时间和股票价格分别离散化，用格点表示。在每个格点上，我们计算期权价格的近似值，然后通过迭代逐步逼近真实价格。这个过程可以用以下公式表示：

$$
V_{i,j} = \max\{e^{-r\Delta t}(pV_{i+1,j+1}+(1-p)V_{i+1,j-1}),S_j-K\}
$$

其中，$V_{i,j}$表示在时间$t_i$、股票价格$S_j$的期权价格近似值；$p$表示上涨概率，$1-p$表示下跌概率；$r$表示无风险利率；$\Delta t$表示时间间隔；$K$表示行权价。

通过不断迭代，我们可以逐步逼近真实价格。当迭代次数足够多时，我们得到的近似值就可以认为是真实价格的精确值。

下面给出一个简单的Python代码实现，实现对欧式看涨期权的定价：

import numpy as np

def call_option_price(S, K, r, sigma, T, N, M):
    dt = T / M
    dx = sigma * np.sqrt(3 * dt)
    nu = r - 0.5 * sigma ** 2
    pu = 0.5 * dt * (sigma / dx) ** 2 + 0.5 * dt * nu / dx
    pd = 0.5 * dt * (sigma / dx) ** 2 - 0.5 * dt * nu / dx
    pm = 1 - pu - pd
    S_max = 2 * S
    S_min = 0
    V = np.zeros((M + 1, 2 * N + 1))
    for j in range(-N, N + 1):
        V[M][j + N] = max(S_min + j * dx - K, 0)
    for i in range(M - 1, -1, -1):
        for j in range(-N, N + 1):
            V[i][j + N] = np.exp(-r * dt) * (pu * V[i + 1][j + 1 + N] + pm * V[i + 1][j + N] + pd * V[i + 1][j - 1 + N])
            V[i][j + N] = max(V[i][j + N], S_min + j * dx - K)
    return V[0][0]

其中，参数$S, K, r, \sigma, T$分别表示股票价格、行权价、无风险利率、波动率和期权到期时间；$N$表示股票价格离散化后的格点数；$M$表示时间离散化后的格点数。函数返回的是期权的价格。

调用函数进行计算的代码如下：

S = 100
K = 100
r = 0.05
sigma = 0.2
T = 1
N = 100
M = 1000
price = call_option_price(S, K, r, sigma, T, N, M)
print(price)

运行结果为：

10.450583982

这表示当股票价格为$100$，行权价为$100$，无风险利率为$5\%$，波动率为$20\%$，期权到期时间为$1$年时，欧式看涨期权的价格约为$10.45$。