二维差分查询第一次全覆盖

二维差分是一种用于高效处理二维区域修改和查询的数据结构。它可以在常数时间内完成区域修改和查询操作。

首先，我们需要对原始矩阵进行预处理，构建二维差分数组。假设原始矩阵为 `matrix`，二维差分数组为 `diff`，其维度与 `matrix` 相同。

构建二维差分数组的过程如下：
1. 初始化 `diff` 的所有元素为 0。
2. 遍历 `matrix` 的每个元素，假设元素 `matrix[i][j]` 的值为 `val`。
3. 更新 `diff` 的四个角落元素：
- `diff[i][j] += val`
- `diff[i+1][j+1] -= val`
- `diff[i][j+1] -= val`
- `diff[i+1][j] -= val`

构建完差分数组后，我们可以进行查询操作。如果要查询矩阵中某个区域的和，可以使用以下方法：
1. 给定左上角坐标 `(x1, y1)` 和右下角坐标 `(x2, y2)`，表示要查询的区域。
2. 计算结果：`sum = diff[x2][y2] - diff[x1-1][y2] - diff[x2][y1-1] + diff[x1-1][y1-1]`

这个计算公式利用了差分数组的性质，能够在常数时间内计算出指定区域的和。

需要注意的是，为了能够处理边界情况，我们可以在 `matrix` 的上方和左方各增加一行/列，且元素值为 0。这样在构建差分数组和进行查询时，就不会出现越界错误。

希望以上信息能够帮助你理解二维差分在查询第一次全覆盖时的应用。如果有任何问题，请随时提问。

相关问题

二维差分 acwing

二维差分是一种常用的数据结构和算法巧，用于高效地处理二维矩阵区间的更新和查询操作。它可以在O(1)的时间复杂度内完成区间的更新和查询操作，相比传统的暴力遍历方法，具有更高的效率。

二维差分的基本思想是将原始矩阵转化为一个差分矩阵，差分矩阵中的每个元素表示原始矩阵中相邻元素之间的差值。通过对差分矩阵进行预处理，可以实现对原始矩阵区间的更新和查询操作。

具体来说，二维差分的操作包括两个步骤：预处理和操作。预处理阶段，需要根据原始矩阵构建差分矩阵；操作阶段，可以通过对差分矩阵的更新来实现对原始矩阵区间的更新，同时可以通过对差分矩阵的求和来实现对原始矩阵区间的查询。

下面是二维差分的基本操作：
1. 构建差分矩阵：对于原始矩阵A，构建一个差分矩阵B，其中B[i][j] = A[i][j] - A[i-1][j] - A[i][j-1] + A[i-1][j-1]。
2. 区间更新：对于原始矩阵A的一个区间[left, right] x [top, bottom]，将差分矩阵B的相应位置进行更新，即B[left][top] += val，B[right+1][top] -= val，B[left][bottom+1] -= val，B[right+1][bottom+1] += val。
3. 区间查询：对于原始矩阵A的一个区间[left, right] x [top, bottom]，通过求和差分矩阵B的相应位置得到区间和，即sum = B[right][bottom] - B[left-1][bottom] - B[right][top-1] + B[left-1][top-1]。

二维差分可以广泛应用于各种算法问题，例如矩阵区间求和、矩阵区间更新等。它的时间复杂度较低，适用于处理大规模的数据。

请写一个二维差分的代码

二维差分（Two-dimensional Difference）是一种常用的算法，用于快速维护二维区域内的数值变化。下面是一个简单的二维差分的 C++ 代码：

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int a[N][N], d[N][N];

void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c) {
    d[x1][y1] += c;
    d[x2 + 1][y1] -= c;
    d[x1][y2 + 1] -= c;
    d[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            cin >> a[i][j];
            insert(i, j, i, j, a[i][j]);
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            d[i][j] += d[i - 1][j] + d[i][j - 1] - d[i - 1][j - 1];
            cout << d[i][j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

该代码使用 `d` 数组维护二维差分。在输入时，对于每个元素 `(i, j)`，将其插入到差分数组中，即将 `(i, j)` 的值加到 `(i, j)` 和 `(i+1, j+1)` 的位置上，并将其从 `(i+1, j)` 和 `(i, j+1)` 的位置上减去。最后，使用前缀和计算差分数组，以获得原始数组的每个元素。