矩阵的p范数在p等于1和2时分别具体求法

当p=1时，矩阵的p范数也叫做矩阵的列和范数，它的定义为矩阵中所有列绝对值之和的最大值。具体求法如下：

$$
\|A\|_1=\max_{1\le j\le n}\sum_{i=1}^{m}|a_{ij}|
$$

当p=2时，矩阵的p范数也叫做矩阵的谱范数，它的定义为矩阵的所有特征值的平方和的平方根。具体求法如下：

$$
\|A\|_2=\sqrt{\lambda_{\max}(A^TA)}
$$

其中，$\lambda_{\max}(A^TA)$表示矩阵$A^TA$的最大特征值。

相关问题

当p等于1和2时如何具体展开矩阵的p范数

当$p=1$时，矩阵的$p$范数可以用列向量的模长之和表示，即

$$
\left\|A\right\|_1 = \max_{1 \leq j\leq n} \sum_{i=1}^{m} \left|a_{ij}\right| = \sum_{j=1}^{n} \left\|A_{:,j}\right\|_1
$$

其中，$A_{:,j}$表示矩阵$A$的第$j$列。也就是说，矩阵的$p=1$范数等于所有列向量模长之和的最大值。

当$p=2$时，矩阵的$p$范数可以用奇异值分解表示，即

$$
\left\|A\right\|_2 = \max_{x\neq0} \frac{\left\|Ax\right\|_2}{\left\|x\right\|_2} = \sigma_1
$$

其中，$\sigma_1$为矩阵$A$的最大奇异值。此外，还有一种简单的计算方式：$\left\|A\right\|_2 = \sqrt{\lambda_{\max}(A^TA)}$，其中$\lambda_{\max}$表示矩阵$A^TA$的最大特征值。

matlab 求矩阵范数代码

在MATLAB中，可以使用`norm`函数来计算矩阵的范数。`norm`函数的语法如下：

n = norm(A, p)

其中，`A`是待计算范数的矩阵，`p`是范数的类型。常见的范数类型包括：

- `1`：1-范数（列和范数）
- `2`：2-范数（谱范数）
- `inf`：无穷范数（行和范数）

以下是一个示例代码，演示如何计算矩阵的范数：

% 创建一个3x3的矩阵
A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];

% 计算1-范数
n1 = norm(A, 1);
disp("1-范数：" + n1);

% 计算2-范数
n2 = norm(A, 2);
disp("2-范数：" + n2);

% 计算无穷范数
ninf = norm(A, inf);
disp("无穷范数：" + ninf);

运行以上代码，将会输出矩阵的1-范数、2-范数和无穷范数的值。