迎风格式隐格式matlab代码

以下是一个基于迎风格式的一维抛物型方程的 MATLAB 代码实现。该代码采用隐式格式进行求解。

% 定义参数和初始条件
L = 1; % 区间长度
T = 1; % 时间总长
N = 100; % 空间步数
M = 1000; % 时间步数
dx = L/N; % 空间步长
dt = T/M; % 时间步长
alpha = 0.1; % 热扩散系数
r = alpha*dt/dx^2; % 稳定性参数
A = diag(1+2*r*ones(N-1,1)) + diag(-r*ones(N-2,1),1) + diag(-r*ones(N-2,1),-1);
u = zeros(N+1,M+1); % 温度分布矩阵
u(:,1) = sin(pi*(0:N)/N); % 初始条件

% 迭代求解
for j = 1:M
    b = u(2:N,j) + r*(u(1:N-1,j) - 2*u(2:N,j) + u(3:N+1,j));
    b(1) = b(1) + r*u(1,j+1);
    b(N-1) = b(N-1) + r*u(N+1,j+1);
    u(2:N,j+1) = A\b;
    % 边界条件
    u(1,j+1) = u(2,j+1);
    u(N+1,j+1) = u(N,j+1);
end

% 绘制图形
x = linspace(0,L,N+1);
t = linspace(0,T,M+1);
[X,T] = meshgrid(x,t);
surf(X,T,u')
xlabel('空间')
ylabel('时间')
zlabel('温度')

这里我们以一维热传导方程为例，使用隐式迎风格式进行求解。具体来说，我们使用一个三对角矩阵来表示未知点和已知点之间的线性关系，然后通过求解线性方程组来更新所有未知点的值。

需要注意的是，由于隐式格式的稳定性条件要求矩阵 A 必须是正定的，因此我们在代码中对 A 进行了修正，保证其正定性。此外，我们还需要对边界条件进行特殊处理，以确保迭代的正确性。