球心在原点,半径为2的球与平面x+y+z=2的切面圆的半径怎么求
时间: 2024-04-12 09:33:29 浏览: 14
要求球与平面的切面圆的半径,可以按照以下步骤进行计算:
1. 确定切点:首先,由于球心在原点,球与平面的切点必然存在于平面上。将平面方程 x + y + z = 2 代入球的方程 x^2 + y^2 + z^2 = 4,可以得到切点的坐标。
将 x + y + z = 2 代入 x^2 + y^2 + z^2 = 4,得到 x^2 + y^2 + (2 - x - y)^2 = 4。展开并整理得到 2x^2 + 2y^2 - 4x - 4y + 3 = 0。
解这个方程组,得到切点的坐标为 (x, y, z) = (1, 1, 0)。
2. 计算切点到球心的距离:切点到球心的距离即为球与平面的切面圆的半径。根据切点的坐标 (1, 1, 0) 和球心在原点,使用欧几里得距离公式计算距离:
距离 = sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2)
= sqrt((0 - 1)^2 + (0 - 1)^2 + (0 - 0)^2)
= sqrt(2)
因此,球与平面的切面圆的半径为 sqrt(2)。
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要求球与平面的截面圆的半径,可以按照以下步骤进行计算:
1. 确定截面:首先,由于球心在原点,球与平面的截面必然存在于平面上。将平面方程 x + y + z = 2 代入球的方程 x^2 + y^2 + z^2 = 4,可以得到截面的方程。
将 x + y + z = 2 代入 x^2 + y^2 + z^2 = 4,得到 x^2 + y^2 + (2 - x - y)^2 = 4。展开并整理得到 2x^2 + 2y^2 - 4x - 4y + 3 = 0。
2. 计算截面圆的半径:截面圆的半径即为该二次曲线的半径。可以将二次曲线转化为标准形式,并应用圆的标准方程,从而得到半径。
将 2x^2 + 2y^2 - 4x - 4y + 3 = 0 转化为标准形式,得到 (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1。
由标准方程可知,截面圆的半径为 1。
因此,球与平面的截面圆的半径为 1。
试求球x²+ y²+ z²=1和平面x+ y+z=1相交的交线所围成的面积
设球面方程为 $x^2+y^2+z^2=1$,则球心在原点 $(0,0,0)$,半径为 $r=1$。平面方程为 $x+y+z=1$。
将平面方程中 $z$ 解出,得 $z=1-x-y$,代入球面方程得到
$$x^2+y^2+(1-x-y)^2=1$$
化简得到
$$x^2+y^2-2x-2y+1=0$$
再次化简,得到
$$(x-1)^2+(y-1)^2=1$$
这是一个以 $(1,1)$ 为圆心,半径为 $1$ 的圆。因此,球面和平面的交线为该圆与平面的交线。
由于该圆心在平面上,因此该圆与平面的交线为圆的切线。可以通过求圆的切点,计算出圆与平面的交线。
圆的切点可以通过求解以下方程组得到:
$$\begin{cases}x+y=2\\(x-1)^2+(y-1)^2=1\end{cases}$$
解得两个切点为 $(\frac{3}{2},\frac{1}{2},0)$ 和 $(\frac{1}{2},\frac{3}{2},0)$。
由于圆在 $z=0$ 平面上方,因此交线为一条弧线,其两端点为上述两个切点。
求出这条弧线的长度,即为所求面积。
可以通过计算圆心角来求出该弧线的长度。圆心角为
$$\theta=2\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi}{2}$$
弧线长度为
$$L=r\theta=\frac{\pi}{2}$$
因此,球面和平面的交线所围成的面积为 $\frac{\pi}{2}$。