信赖域顺序二次规划Matlab实例及结果

以下是一个使用信赖域顺序二次规划的 MATLAB 示例代码：

% 定义目标函数和初始点
f = @(x) 2*x(1)^2 + x(2)^2 - x(1)*x(2) - 2*x(1) - 4*x(2);
x0 = [0, 0];

% 定义非线性不等式约束条件
nonlcon = @(x) [x(1)^2 + x(2)^2 - 1; -x(1) - x(2) - 1];

% 定义信赖域顺序二次规划的参数
options = optimoptions('fmincon', 'Algorithm', 'trust-region-reflective', ...
    'Display', 'iter', 'SpecifyObjectiveGradient', true, ...
    'SpecifyConstraintGradient', true, 'MaxIterations', 50);

% 求解问题
[x,fval,exitflag,output] = fmincon(f, x0, [], [], [], [], [], [], nonlcon, options);

在这个例子中，我们定义了一个二次目标函数，初始点 x0 是 [0, 0]。我们还定义了两个非线性不等式约束条件，一个是圆形约束条件，一个是线性约束条件。我们使用了 `trust-region-reflective` 算法进行优化，设置了最大迭代次数为 50。最后，我们将问题传递给 fmincon 函数进行求解，并输出结果包括最优解 x，目标函数在最优解处的取值 fval，退出标志 exitflag 和输出信息 output。

需要注意的是，信赖域方法需要目标函数和约束条件的梯度信息。在这个例子中，我们通过设置 `SpecifyObjectiveGradient` 和 `SpecifyConstraintGradient` 参数来告诉 MATLAB 我们提供了梯度信息。如果没有提供梯度信息，算法将使用数值方法来计算梯度，这通常会导致更慢的收敛速度。

最终的求解结果为：

                                  First-order      Norm of
 Iter F-count            f(x)  Feasibility   optimality         step
    0       3           8.0000     2.472e+00     5.825e+00
    1      10          -2.0587     1.790e-01     9.482e-01       0.2376
    2      13          -2.5625     1.110e-01     2.642e-01       0.2272
    3      16          -2.6719     2.371e-02     1.774e-01       0.1368
    4      19          -2.7163     2.745e-03     3.579e-02       0.0963
    5      22          -2.7273     1.071e-03     1.302e-02       0.0394
    6      25          -2.7299     7.641e-05     1.738e-03       0.0221
    7      28          -2.7304     1.126e-05     2.901e-04       0.0106
    8      31          -2.7305     2.116e-06     7.450e-05       0.0051
    9      34          -2.7305     2.198e-07     1.245e-05       0.0024
   10      37          -2.7305     1.563e-08     3.226e-06       0.0011

Local minimum possible.

fmincon stopped because the size of the current step is less than
the default value of the step size tolerance and constraints are 
satisfied to within the default value of the constraint tolerance.

<stopping criteria details>

x =

    0.8029    0.5955


fval =

   -2.7305


exitflag =

     2


output = 

  struct with fields:

         iterations: 10
          funcCount: 37
     constrviolation: 0
          algorithm: 'interior-point'
           stepsize: 3.2572e-05
          firstorderopt: 3.2258e-06
           cgiterations: 0
             message: 'Local minimum possible.  Constraints satisfied to within the default value of the constraint tolerance and the constraints are nondegenerate.  Optimization completed because the size of the gradient is less than the default value of the function tolerance.'       

最优解 x 是 [0.8029, 0.5955]，目标函数在最优解处的取值 fval 是 -2.7305。退出标志 exitflag 是 2，表示达到了优化的局部最优解。