F(t)=mx“ + cx' + kx 中,如何用数学方法推导得出零时刻的x”
时间: 2024-05-31 09:09:34 浏览: 10
我们可以利用初值条件来求解这个问题。根据牛顿第二定律,F(t) = mx'',那么原方程可以重写为:
mx'' + cx' + kx = F(t)
假设在 t=0 时刻,我们已知 x(0) 和 x'(0) 的值,即:
x(0) = x0
x'(0) = v0
我们可以使用拉普拉斯变换来求解该微分方程。对于任意一个函数 f(t),它的拉普拉斯变换 F(s) 定义为:
F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞) e^(-st) f(t) dt
其中,s 是复变量。将原方程取拉普拉斯变换,则有:
ms^2 X(s) + csX(s) + kX(s) = F(s)
解出 X(s):
X(s) = F(s) / (ms^2 + cs + k)
将 F(s) 带入上式,得到:
X(s) = L{F(t)} / (ms^2 + cs + k)
我们需要求解的是 x''(0),也就是 X''(s) 在 s=0 时的值。因此,我们需要对 X(s) 进行泰勒展开,得到:
X(s) = X(0) + sX'(0) + (1/2)s^2X''(0) + ...
将 s=0 带入上式,得到:
X(0) = x0
X'(0) = v0
X''(0) = ?
我们需要求解的就是 X''(0)。将上式代入 X(s) 的表达式中,得到:
X(s) = L{F(t)} / (ms^2 + cs + k)
然后对 X(s) 进行泰勒展开,得到:
X(s) = x0 + s*v0 + (1/2)s^2 X''(0) + ...
将 s=0 带入上式,得到:
X(0) = x0
X'(0) = v0
X''(0) = (2 / m) * [L{F(t)} - c*v0 - k*x0]
因此,我们可以通过对原方程取拉普拉斯变换,然后对 X(s) 进行泰勒展开,得到 X''(0) 的表达式,从而求解出零时刻的加速度 x''(0)。