y”-5y’+6y=6e^x-12x+2

同样的，我们先求齐次方程 $y''-5y'+6y=0$ 的通解。假设 $y=e^{mx}$，则有特征方程 $m^2-5m+6=0$，解得 $m_{1,2}=2,3$。因此，通解为 $y_c=c_1e^{2x}+c_2e^{3x}$。

接下来，求非齐次方程的特解。根据非齐次项的形式，我们猜测特解为 $y_p=Ae^x+Bx+C$。将其带入非齐次方程，得到 $A=1$，$B=1$，$C=-2$。因此，特解为 $y_p=e^x+x-2$。

最后，将通解和特解相加，即可得到非齐次方程的通解：

$$
y=y_c+y_p=c_1e^{2x}+c_2e^{3x}+e^x+x-2
$$

其中，$c_1$ 和 $c_2$ 是任意常数，可以由初始条件确定。

相关问题

求微分方程y''-y'+e^x=0

这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程，可以使用特征方程和待定系数法求解。

首先求其对应的齐次方程y''-y'=0的特征方程：
r^2 - r = 0
解得r1=0, r2=1

因此齐次方程的通解为y=c1 + c2*e^x。

然后考虑非齐次方程中的e^x，因为e^x是指数函数，所以我们猜测非齐次方程的特解为y*=A*e^x，其中A为待定常数。

将特解带入非齐次方程，得到：
A*e^x - A*e^x + e^x = 0
解得A=1。

因此非齐次方程的特解为y*=e^x。

最终的通解为y=c1 + c2*e^x + e^x。

x+2y+z=8,x-y=-1,x+2z=2y+3,求解x，y，z,要详细过程

为了求解方程组x+2y+z=8，x-y=-1，x+2z=2y+3，我们可以使用消元法或代入法。让我们使用代入法来解决这个问题。

首先，我们可以使用第二个方程x-y=-1来解出x，得到x=y-1。现在，我们将这个表达式代入第一个和第三个方程中。

将x=y-1代入第一个方程得到：
(y-1) + 2y + z = 8
化简为：
3y + z = 9 -- (方程A)

将x=y-1代入第三个方程得到：
(y-1) + 2z = 2y + 3
化简为：
2z - y = 4 -- (方程B)

现在我们有了方程A和方程B，可以通过求解这两个方程来得到y和z的值。

我们可以将方程A乘以2，然后将其与方程B相加，以消除y的项。

2(3y + z) + (2z - y) = 18 + 4
化简为：
6y + 2z + 2z - y = 22
化简为：
5y + 4z = 22 -- (方程C)

现在我们有了两个方程：方程B和方程C。这是一个含有两个未知数y和z的线性方程组。

我们可以将方程C乘以2，然后将其与方程B相减，以消除z的项。

2(5y + 4z) - (2z - y) = 2(22) - 4
化简为：
10y + 8z - 2z + y = 44 - 4
化简为：
11y + 6z = 40 -- (方程D)

现在我们有了两个方程：方程B和方程D。这是一个含有两个未知数y和z的线性方程组。

我们可以将方程D乘以4，然后将其与方程B相减，以消除y的项。

4(11y + 6z) - (2z - y) = 4(40) - 4
化简为：
44y + 24z - 2z + y = 160 - 4
化简为：
45y + 22z = 156 -- (方程E)

现在我们有了两个方程：方程B和方程E。这是一个含有两个未知数y和z的线性方程组。

我们可以将方程E乘以5，然后将其与方程C相减，以消除y的项。

5(5y + 4z) - (5y + 22z) = 5(22) - 156
化简为：
20z - 22z = 110 - 156
化简为：
-2z = -46

除以-2：

z = 23

现在，我们将求得的z值代入方程B中，以求解y。

2z - y = 4
2(23) - y = 4
46 - y = 4
-y = 4 - 46
-y = -42

除以-1：

y = 42

最后，我们将求得的y和z值代入x=y-1中，以求解x。

x = y - 1
x = 42 - 1
x = 41

所以，方程组的解为x = 41，y = 42，z = 23。