最小生成树公路村村通

最小生成树公路村村通是指在一个村落网络中，通过建设最小成本的公路，使得每个村落都能够互相连通。这个问题可以通过最小生成树算法来解决。

最小生成树算法是一种用于在加权连通图中查找生成树的算法。它可以找到一棵边权值之和最小的生成树。在这个问题中，我们可以将每个村落看作图中的一个节点，每条道路看作图中的一条边，边的权值为该道路改建的预算成本。然后，我们可以使用最小生成树算法来找到一棵边权值之和最小的生成树，这棵生成树就是最小成本的公路网络，可以使得每个村落都能够互相连通。

具体实现最小生成树算法的方法有很多，包括Prim算法和Kruskal算法等。这里我们以Kruskal算法为例进行说明。Kruskal算法的基本思想是从小到大选择边，如果选择的边不会形成环，则将其加入生成树中。具体步骤如下：

1. 将所有边按照权值从小到大排序。
2. 依次选择每条边，如果该边的两个端点不在同一个连通块中，则将该边加入生成树中，并将这两个端点所在的连通块合并。
3. 重复步骤2，直到生成树中有N-1条边为止，其中N为节点数。

最终生成的树就是最小生成树。

相关问题

构造最小生成树 村村通

### 解决村村通问题的最小生成树算法应用

#### 背景描述
某省调查乡村交通状况，得到的统计表中列出了任意两村庄间的距离。为了实现“畅通工程”，即确保省内任何两个村庄之间可以通过公路连接，并且使得铺设的公路总长度最短，可以采用最小生成树算法来规划最优的道路建设方案[^3]。

#### Prim算法的应用
对于给定的一组村庄及其之间的路径成本，在构建最小生成树的过程中，Prim算法从任选的一个起点出发逐步扩展到其他节点直到覆盖所有的村庄为止。每次迭代过程中都会挑选当前已加入集合内的点所能到达但尚未被访问过的最近邻居作为下一个要添加的新成员；如此这般循环往复直至所有顶点都被囊括进来形成一颗完整的树形结构。这种方法特别适用于稠密图的情况。

import sys

def prim_algorithm(graph, start_vertex):
    n = len(graph)
    key_values = {v: float('inf') for v in range(n)}
    parent = [-1]*n
    mst_set = [False]*n
    
    key_values[start_vertex], parent[start_vertex] = 0, None 

    for _ in range(n-1):
        u = min_key(key_values, mst_set)

        mst_set[u] = True
        
        for v in range(n):
            if graph[u][v]>0 and not mst_set[v]:
                if graph[u][v]<key_values[v]:
                    key_values[v]=graph[u][v]
                    parent[v]=u
                    
    result_edges = []
    
    for i in range(1,n):
        result_edges.append((parent[i],i))
        
    return result_edges


def min_key(keys,mstSet):
    minimum = sys.maxsize
    min_index=-1
    
    for vertex in range(len(mstSet)):
        if keys[vertex]<minimum and not mstSet[vertex]:
            minimum=keys[vertex]
            min_index=vertex
            
    return min_index

#### Kruskal算法的应用
而当面对的是较为稀疏的地图分布时，则更推荐使用Kruskal算法来进行处理。此方法并不拘泥于特定起始位置的选择而是直接着眼于全局视角下的每一对可能构成边的关系之中寻找权重最低者先行纳入考虑范围之内再依照其关联端点是否已经存在于同一棵树下来决定最终能否正式成为新添入的部分之一。随着不断重复这一过程直至所剩未连结部分无法继续组合成新的有效分支则整个运算结束从而获得一张由原始输入派生出来的具有最少累积耗费特性的森林形态——也就是所谓的最小生成树了[^5]。

class DisjointSets(object):

    def __init__(self,size):
        self.parent=[None]*size
        self.rank =[0]*size

    def make_set(self,x):
        self.parent[x]=x
        self.rank[x]=0

    def find(self,x):
        if self.parent[x]!=x:
            self.parent[x]=self.find(self.parent[x])
        return self.parent[x]

    def union(self,x,y):
        root_x=self.find(x)
        root_y=self.find(y)

        if root_x !=root_y:

            if self.rank[root_x]>self.rank[root_y]:
                self.parent[root_y]=root_x
                
            elif self.rank[root_x]<self.rank[root_y]:
                self.parent[root_x]=root_y
                
            else :
                self.parent[root_y]=root_x
                self.rank[root_x]+=1



def kruskal_algorithm(edges,v_num):
    edges.sort()
    ds=DisjointSets(v_num)
    res_edge=[]

    for edge in edges:
        weight,u,v=edge
        if ds.find(u)!=ds.find(v):
            res_edge.append(edge)
            ds.union(u,v)


    return res_edge

公路村村通python

公路村村通问题是一道经典的最小生成树问题，可以使用Kruskal算法或Prim算法来解决。是Kruskal算法的Python实现示例：

class UnionFind:
    def __init__(self, n):
        self.parent = list(range(n))
        self.rank = [0] * n
        
    def find(self, x):
        if self.parent[x] != x:
            self.parent[x] = self.find(self.parent[x])
        return self.parent[x]
    
    def union(self, x, y):
        px, py = self.find(x), self.find(y)
        if px == py:
            return False
        if self.rank[px] < self.rank[py]:
            self.parent[px] = py
        elif self.rank[px] > self.rank[py]:
            self.parent[py] = px
        else:
            self.parent[py] = px
            self.rank[px] += 1
        return True

def kruskal(n, edges):
    uf = UnionFind(n)
    edges.sort(key=lambda x: x[2])
    res = 0
    for u, v, w in edges:
        if uf.union(u, v):
            res += w
    return res

其中，UnionFind类定义了并查集数据结构，用于判断两个节点是否在同一连通块中；kruskal函数实现了Kruskal算法，用于求解最小生成树的权值和。输入参数n表示图中节点的数量，edges是一个列表，每个元素表示一条边，包括起点、终点和权值。输出结果为最小生成树的权值和。

具体使用时，可以按照题目要求先读入数据，然后调用kruskal函数求解最小生成树的权值和。