用单纯形法求解线性规划问题

### 单纯形法求解线性规划问题方法

#### 初始设置与理解
单纯形法是一种用于解决线性规划问题的有效算法，其核心在于通过一系列迭代操作来寻找最优解。对于给定的线性规划问题，如果存在一个可行基 \( B \)，那么可以找到一个初始基本可行解 \( X=(\text{inv}(B)\cdot b; 0) \)[^2]。

#### 构造初始表
为了应用单纯形法，通常需要构建初始单纯形表格。此表格包含了目标函数系数、约束矩阵以及右侧常数向量的信息。假设有一个标准形式的线性规划问题：

\[ \min z = c^T x \]

受制于:

\[ Ax=b,\quad x\geqslant 0 \]

其中\(A\)是约束条件中的系数矩阵；\(b\)是非负右端项向量；而\(c\)为目标函数的成本向量[^1]。

#### 寻找初始基本可行解
当遇到不含松弛变量的情况时，可通过引入人工变量的方式构造一个新的基底，并以此为基础建立初始单纯形表。这些人为加入的人工变量将在后续过程中逐渐被替换掉直至不再存在于最终解答之中。

#### 实施优化过程
一旦获得了合适的起始点之后，则进入正式的最优化阶段——即不断调整当前方案直到无法再改进为止。具体做法是在每一步都挑选出具有最大正检验数（也称为减量化成本）的一列作为入基变量，同时依据最小比例原则决定离基变量的位置并更新整个系统状态。重复上述动作直至所有非基础变量对应的检验数值均不大于零，这时便达到了全局极值点位置[^4]。

#### 使用MATLAB实现
在实际编程环境中，比如利用Matlab工具箱来进行计算会更加便捷高效。下面给出一段简单的代码片段展示如何调用内置函数完成这一任务：

% 定义参数
A = [1, 0, 1, 0, 0;
     0, 2, 0, 1, 0;
     3, 2, 0, 0, 1];
b = [4; 12; 18];
c = [-3, -5, 0, 0, 0];

% 调用单纯形法求解器
[x, Y, L] = linprog(c', A, b);
disp('Optimal Solution:');
disp(x');
disp(['Objective Value:', num2str(Y)]);

这段程序定义了一个具体的LP实例并通过`linprog()`函数实现了对其的解析处理。注意这里的目标函数已经取反以便适应Minimization的要求[^3]。