用MATLAB解决设总体 X 服从标准正态分布，X1, X2, … , Xn是简单随 机样本，分别从密度函数曲线和矩关系上验证统计 量X1 2 + X2 2的分布形式

在MATLAB中，我们可以利用内置的统计函数来处理这个问题。首先，我们需要了解X1^2 + X2^2的分布是Chi-squared分布，其自由度取决于样本的数量。以下是验证过程：

1. **密度函数曲线验证**：

   % 定义自由度n
   n = 2; % 比如这里是n=2，表示有两个样本

   % 生成大量的标准正态随机样本
   X = randn(1e5, n); % 例如，取10万次独立的标准正态抽样

   % 对样本平方求和
   sum_squares = sum(X .^ 2, 2); % 沿着列求和，每个样本的X1^2和X2^2相加

   % 创建 Chi-squared 分布的理论密度函数
   [x, pdf_chisq] = chi2pdf(sum_squares, n);

   % 绘制理论密度函数和样本频率直方图
   histogram(sum_squares, 'Normalization', 'pdf');
   hold on;
   plot(x, pdf_chisq, '-r'); % 红色线代表Chi-squared分布的理论曲线
   legend({'Sample Histogram', 'Chi-squared PDF'});
   hold off;

2. **矩关系验证**：

Chi-squared 分布的k阶原点矩等于自由度k，即 M_k = k。我们可以直接计算样本总和的k阶矩，并与理论值比较：

   % 计算样本的第2阶原点矩（即方差）
   sample_moment_2 = mean(sum_squares.^2);

   % 理论的第2阶原点矩
   theoretical_moment_2 = n;

   disp(['Sample moment 2: ', num2str(sample_moment_2)]);
   disp(['Theoretical moment 2: ', num2str(theoretical_moment_2)]);

如果两者接近，说明样本统计量的分布形式接近于期望的Chi-squared分布。