假设一个0/1背包问题是,n=4,重量为w=(4,7,5,3),价值为v=(40,42,25,12),背包限重为W=10,解向量为x=(x1,x2,x3,x4)。请采用课本第6章中的优先队列式分枝限界法求解该问题,请进行详细过程分析,并

给出最终的解向量。

首先，我们需要将物品按照单位重量的价值从大到小排序，得到v/w的数组为(10, 6, 5/3, 4)。然后，我们定义一个节点类，包含当前节点的状态、当前节点的上界、当前节点的价值和重量、以及当前节点的深度。初始节点为根节点，状态为空，上界为0，价值和重量为0，深度为0。

接下来，我们需要使用优先队列来存储节点，每次取出上界最大的节点进行扩展。对于每个节点，我们需要计算其左儿子和右儿子的上界，并将它们加入优先队列中。左儿子表示选择当前物品放入背包，右儿子表示不选择当前物品放入背包。具体计算方法如下：

设当前节点的状态为S，已经选择的物品的重量为w，已经选择的物品的价值为v，剩余物品的v/w数组为a，背包限重为W，当前节点的深度为d。

左儿子的状态为S+1，重量为w+a[d]，价值为v+a[d]*w，上界为v+a[d]*(W-w)。

右儿子的状态为S，重量为w，价值为v，上界为v+a[d]*(W-w)。

对于每个节点，如果其上界小于当前最优解，则不进行扩展。如果其状态为选择所有物品，则更新最优解。

最终的解向量为(1, 0, 1, 1)，即选择第1、3、4个物品放入背包中。