matlab迎风格式求解初边值问题

下面给出一个使用Matlab实现的迎风格式求解初边值问题的例子：

假设有一个一维热传导方程，其初值条件为 $u(x,0)=\sin(\pi x)$，边界条件为 $u(0,t)=u(1,t)=0$，则该问题的数学模型为：

$$\begin{cases}
\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \\
u(x,0) = \sin(\pi x) \\
u(0,t) = u(1,t) = 0
\end{cases}$$

使用迎风格式对其进行数值求解，可以得到以下Matlab代码：

% 设置参数
N = 100;        % 空间分割数
M = 10000;      % 时间分割数
dx = 1/N;
dt = 0.0001;
r = dt/dx^2;

% 初始化矩阵
u = zeros(N+1, M+1);
u(2:N, 1) = sin(pi*(1:N-1)*dx);    % 初值条件

% 进行迭代计算
for j = 1:M
    for i = 2:N
        if (u(i, j) >= 0)
            u(i, j+1) = u(i, j) + r*(u(i-1, j) - 2*u(i, j) + u(i+1, j));
        else
            u(i, j+1) = u(i, j) + r*(u(i+1, j) - 2*u(i, j) + u(i-1, j));
        end
    end
    u(1, j+1) = 0;     % 边界条件
    u(N+1, j+1) = 0;   % 边界条件
end

% 绘制图像
figure;
[X, T] = meshgrid(0:dx:1, 0:dt:M*dt);
surf(X, T, u');
xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('u');
title('迎风格式求解一维热传导方程');

运行该代码后，可以得到一个热传导方程随时间演化的图像。