有n个人围成一圈，按顺序从1到n编号。从第一个人开始报数，报数3的人退出圈子，下一个人从1开始重新报数，报数3的人退出圈子。如此循环，直到留下最后一个人。问留下来的人的编号。

### 回答1：
留下来的人的编号取决于n的值。当n=1时，留下来的人的编号为1；当n>1时，留下来的人的编号可以用递推公式求解：

f(n) = (f(n-1) + 3) % n

其中，f(n)表示n个人围成一圈时，最后留下来的人的编号。当n=2时，f(2)=1；当n=3时，f(3)=2；当n=4时，f(4)=1；当n=5时，f(5)=4；当n=6时，f(6)=3；以此类推。

因此，留下来的人的编号可以用递归或循环的方式求解。

### 回答2：
这个问题可以使用递归的方法来解决。递归是一种在函数里面调用自身的方法，能够简化一些复杂问题的处理过程。

我们可以先设定一个函数，名叫 "survive"，这个函数需要两个参数：当前车轮中剩余的人数和当前车轮中第一个人的编号。然后，我们在函数内部模拟每次的退出操作，并不断递归调用自身，直到只剩下一个人。

具体的思路如下：

1. 如果当前车轮中只有一个人，则直接返回该人的编号。

2. 否则，我们计算出第 3 个人的编号，即当前第一个人的编号加上 2。需要注意的是，如果计算后的编号超过了当前车轮中最大的编号，我们需要将计算结果对当前车轮中人数取余数，才能得到真正的编号。

3. 接下来，我们将上一步计算出的编号对当前车轮中的人数取余数，得到的结果就是第一个要退出圈子的人的编号。

4. 如果退出的是最后一个人，也就是说退出后只剩下一个人了，则直接返回该人的编号，递归结束。

5. 否则，我们需要将当前车轮中这个人和他右边的人都删除，并将第二个参数更新为他右边的那个人的编号。然后递归调用 "survive" 函数，继续进行下一轮的计算。

代码实现如下：

def survive(n, start):
    if n == 1:
        return start
    else:
        next = (start + 2) % n
        if next == 0:
            next = n
        result = survive(n - 1, next)
        if result < start:
            return result
        else:
            return result + 1

这个函数需要传入两个参数，第一个参数是总人数 n，第二个参数是开始报数的人的编号 start。我们可以直接调用 "survive" 函数来得到最后一个留下来的人的编号，如下所示：

n = int(input("请输入人数："))
start = int(input("请输入开始报数的人的编号："))
print("最后留下来的人的编号是：", survive(n, start))

这个程序会先要求用户输入总人数和开始报数的人的编号，然后调用 "survive" 函数计算出最后留下来的人的编号，并输出到屏幕上。

### 回答3：
这是一个很经典的约瑟夫问题，可以用递归和迭代两种方法解决。

递归方法：

设函数f(n,m)表示n个人数到m的最后一个人编号，那么可以划归成两部分，第一部分是第一个人数到第m个人出局之后剩下的人，共有n-1个人，假设编号是x，则f(n-1,m)返回的是这n-1个人中数到m-1后最后一个人的编号；而第二部分是剩下的n-1个人，从第x+1开始数，相当于重新从1开始，所以报数的下标应该为(m-1)%n+1，即第x个人已经出局，从新的位置开始数，最后剩下的人的编号是f(n-1,m)加上新数数的位置，即f(n-1,m)+(m-1)%n+1，要记得对n取模，因为剩下的人数已经变了。

边界条件，当n=1时，显然f(1,m)=1，因为只剩下一个人。

所以递归式为：

f(n,m) = {
1 (n=1)
[f(n-1,m)+(m-1)%n+1]%n (n>1)
}

迭代方法：

设剩下i个人时的编号为x(i)，则x(n)就是答案。

显然，x(1)=0，因为只剩下一个人。

当i>1时，从x(i-1)开始报数，第一个出列的是(x(i-1)+m-1)%i+1，然后重新编号，令出列的人的下标为k，则下一个数数从x(i-1)+k开始，所以x(i)=x(i-1)+k。

所以迭代式为：

x(i)=[x(i-1)+m]%i

注意：以上两种方法的m值需要减一，因为数组下标是从0开始的，题目中从1开始数。