计算二重积分 ∬ D ( x 2 + 2 y ) d A , 其中 D 是由 y = x , y = x 3 , 和 x ≥ 0. 界定的区域

首先，我们需要画出该区域的图形：


观察可得，该区域的上下界分别是 $y=x$ 和 $y=x^3$，左右界分别是 $x=0$ 和 $x$。

因此，该二重积分的累次积分顺序为先 $dydx$，积分区域为：

$$
\int_{0}^{1}\int_{x^{3}}^{x}(x^{2}+2y)dydx
$$

对 $y$ 积分，得到：

$$
\begin{aligned}
\int_{x^{3}}^{x}(x^{2}+2y)dy & =x^{2}y+y^{2}\Big|_{x^{3}}^{x}\\
& =x^{2}x+(x)^{2}-x^{2}(x^{3})\\
& =2x-x^{7}
\end{aligned}
$$

再对 $x$ 积分，得到：

$$
\begin{aligned}
\int_{0}^{1}(2x-x^{7})dx & =x^{2}-\frac{1}{8}x^{8}\Big|_{0}^{1}\\
& =1-\frac{1}{8}\\
& =\frac{7}{8}
\end{aligned}
$$

因此，原二重积分的结果为 $\frac{7}{8}$。

相关问题

计算二重积分 ∬ D ( x 2 + 4 y ) d A , 其中 D 是由 y = x , y = x 3 , 和 x ≥ 0. 界定的区域。 答：

首先，我们需要画出该区域 D 的示意图：


可以看出，该区域 D 是由曲线 y = x，y = x^3 和 x = 0 围成的。因此，我们可以将该二重积分转化为极坐标形式进行计算。

首先，确定积分的上下限。由于 x ≥ 0，因此积分的范围为 0 ≤ θ ≤ π/4，0 ≤ r ≤ sinθ。

然后，将被积函数转化为极坐标形式：x^2 + 4y = r^2 cos^2θ + 4r sinθ cosθ。

因此，二重积分的计算式为：

∬ D ( x^2 + 4y ) dA = ∫[0,π/4]∫[0,sinθ] (r^2 cos^2θ + 4r sinθ cosθ) r dr dθ

= ∫[0,π/4]∫[0,sinθ] (r^3 cos^2θ + 4r^2 sinθ cosθ) dr dθ

= ∫[0,π/4] [sin^4θ/4 + sin^3θ cosθ] dθ

= 1/20

因此，该二重积分的值为 1/20。

计算二重积分∬arctan𝑦/𝑥dxdy，其中区域D由曲线𝑥^2+𝑦^2=4，𝑥^2+𝑦^2=1及直线y=0，y=x所围成

首先画出区域D的图形：


可以看出，该区域可以表示为：

$$D=\{(x,y)|0\leqslant y\leqslant x\leqslant 1\}\cup\{(x,y)|x^2+y^2\leqslant1, y\geqslant0\}\cup\{(x,y)|x^2+y^2\leqslant4, y\leqslant0\}$$

因此，原积分可以表示为：

$$\iint_D\arctan\frac{y}{x}dxdy=\int_0^1\int_0^x\arctan\frac{y}{x}dydx+\int_{-1}^1\int_0^{\sqrt{1-x^2}}\arctan\frac{y}{x}dydx+\int_{-2}^0\int_{-\sqrt{4-y^2}}^{\sqrt{4-y^2}}\arctan\frac{y}{x}dxdy$$

对于第一个积分，我们可以通过分部积分的方法来计算：

$$\begin{aligned}\int_0^x\arctan\frac{y}{x}dy&=\left[y\arctan\frac{y}{x}\Bigg|_0^x-\int_0^x\frac{y^2}{x^2+(y/x)^2}dy\right]\\&=x\arctan 1-\int_0^x\frac{y^2}{x^2+y^2}dy\\&=x\arctan 1-\frac{1}{2}\ln(x^2+1)\end{aligned}$$

因此，第一个积分可以表示为：

$$\int_0^1\int_0^x\arctan\frac{y}{x}dydx=\int_0^1\left[x\arctan 1-\frac{1}{2}\ln(x^2+1)\right]dx=\frac{\pi}{8}-\frac{1}{4}\ln 2$$

对于第二个积分和第三个积分，由于被积函数是关于x和y对称的，因此可以通过对称性将其化为两倍的第二个积分：

$$\begin{aligned}\int_{-1}^1\int_0^{\sqrt{1-x^2}}\arctan\frac{y}{x}dydx&=2\int_0^1\int_0^{\sqrt{1-x^2}}\arctan\frac{y}{x}dydx\\&=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^{\sin\theta}\arctan\frac{\tan\theta}{x}xdx d\theta\\&=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left[\frac{\theta}{2}\ln\left(\sin^2\theta+x^2\right)\Bigg|_0^{\sin\theta}\right]d\theta\\&=\pi\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln\left(\sin\theta\right)d\theta\end{aligned}$$

对于最后一个积分，可以通过极坐标变换来计算：

$$\begin{aligned}\int_{-2}^0\int_{-\sqrt{4-y^2}}^{\sqrt{4-y^2}}\arctan\frac{y}{x}dxdy&=\int_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}}\int_0^{2\cos\theta}\arctan\frac{\sin\theta}{\cos\theta}rdrd\theta\\&=\int_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}}\left[\frac{\theta}{2}\ln\left(\cos^2\theta+r^2\right)\Bigg|_0^{2\cos\theta}\right]d\theta\\&=\int_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}}\frac{\pi}{2}\ln\left(4\cos^2\theta\right)d\theta\\&=\pi\ln 2\int_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}}\cos^2\theta d\theta\\&=\frac{\pi^2}{4}\ln 2\end{aligned}$$

因此，原积分的值为：

$$\iint_D\arctan\frac{y}{x}dxdy=\frac{\pi}{8}-\frac{1}{4}\ln 2+\pi\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln\left(\sin\theta\right)d\theta+\frac{\pi^2}{4}\ln 2$$