计算二重积分 ∬ D ( x 2 + 2 y ) d A , 其中 D 是由 y = x , y = x 3 , 和 x ≥ 0. 界定的区域

首先，我们需要画出该区域的图形：


观察可得，该区域的上下界分别是 $y=x$ 和 $y=x^3$，左右界分别是 $x=0$ 和 $x$。

因此，该二重积分的累次积分顺序为先 $dydx$，积分区域为：

$$
\int_{0}^{1}\int_{x^{3}}^{x}(x^{2}+2y)dydx
$$

对 $y$ 积分，得到：

$$
\begin{aligned}
\int_{x^{3}}^{x}(x^{2}+2y)dy & =x^{2}y+y^{2}\Big|_{x^{3}}^{x}\\
& =x^{2}x+(x)^{2}-x^{2}(x^{3})\\
& =2x-x^{7}
\end{aligned}
$$

再对 $x$ 积分，得到：

$$
\begin{aligned}
\int_{0}^{1}(2x-x^{7})dx & =x^{2}-\frac{1}{8}x^{8}\Big|_{0}^{1}\\
& =1-\frac{1}{8}\\
& =\frac{7}{8}
\end{aligned}
$$

因此，原二重积分的结果为 $\frac{7}{8}$。