详解拦截导弹问题(动态规划)
时间: 2023-11-06 08:52:54 浏览: 51
拦截导弹问题,也称为“拦截导弹游戏”或“拦截导弹防御系统问题”,是一个经典的动态规划问题。
问题描述:
有一座山,山上有一些导弹在不同的高度上飞行,你需要设计一套导弹拦截系统,使得拦截导弹的代价最小。
假设你可以部署一些导弹拦截器,每个拦截器能够拦截一定高度范围内的导弹。拦截器的部署代价与其拦截高度范围成正比,也就是说,拦截范围越大,部署代价越高。
你需要设计一套拦截系统,使得拦截代价最小,并能够完全拦截所有的导弹。
问题分析:
这个问题可以用动态规划来解决。我们可以定义一个状态 $f(i)$ 表示在第 $i$ 个导弹高度处放置拦截器所需的最小代价。则最终的答案就是 $f(n)$,其中 $n$ 表示导弹的数量。
接下来考虑如何求解状态转移方程。假设当前在第 $i$ 个导弹高度处放置一个拦截器,则前面所有高度小于 $i$ 的导弹都必须被拦截。因此,我们可以考虑将这些导弹按照高度从大到小排序,然后依次考虑每个导弹被拦截的情况。
对于第 $i$ 个导弹,我们需要考虑它是否被拦截。如果它被拦截,则拦截器的范围必须包括这个导弹的高度;否则,我们可以不用在这个高度处放置拦截器。因此,状态转移方程可以表示为:
$$
f(i) = \begin{cases}
\min\limits_{j=1}^{i-1}\{f(j) + c(i,j)\},&\text{如果第 }i\text{ 个导弹被拦截}\\
f(i-1),&\text{如果第 }i\text{ 个导弹不被拦截}
\end{cases}
$$
其中 $c(i,j)$ 表示在第 $j$ 个导弹高度处放置一个拦截器,可以拦截第 $i$ 个导弹的代价。显然,$c(i,j)$ 可以通过计算高度差来计算,即 $c(i,j) = h_j - h_i$,其中 $h_i$ 表示第 $i$ 个导弹的高度。
最终的答案即为 $f(n)$,表示在第 $n$ 个导弹高度处放置拦截器的最小代价。
代码实现:
下面是拦截导弹问题的代码实现,时间复杂度为 $O(n^2)$:
```python
def missile_defense_system(heights):
n = len(heights)
f = [float('inf')] * (n + 1)
f[0] = 0
for i in range(1, n + 1):
for j in range(i):
cost = heights[j] - heights[i - 1]
if cost < 0:
continue
if f[j] + cost < f[i]:
f[i] = f[j] + cost
return f[n]
```
其中,`heights` 表示导弹的高度列表。
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