给定n个矩阵｛A1,A2,…,An｝（n<=40），其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1，2…，n。第i个矩阵的维数用p i−1 ，p i 来表示。如何确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。

时间: 2024-03-18 13:44:02 浏览: 185

矩阵连乘问题给定n个矩阵｛A1,A2,…,An｝，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1,2 ,…,n-1。如何确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。

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### 矩阵连乘问题解析 #### 一、问题背景在计算机科学与数学领域，矩阵连乘问题是一个经典的动态规划问题。该问题的核心在于寻找一种最优的矩阵相乘顺序，以最小化所需的乘法操作次数。由于矩阵乘法满足结合律（即(A×B)×C=A×(B×C)），因此可以存在多种不同的乘法顺序。然而，不同的顺序可能会导致所需乘法次数的不同。例如，对于三个矩阵A、B、C，如果A是一个10×100的矩阵，B是一个100×5的矩阵，C是一个5×50的矩阵，则(A×B)×C需要的乘法次数为10×100×5 + 10×5×50 = 7500，而A×(B×C)需要的乘法次数为100×5×50 + 10×100×50 = 35000。显然，前者的乘法次数更少。 #### 二、问题描述本题的目标是给定一系列可相乘的矩阵A1, A2, …, An，找到一种乘法顺序，使得所有矩阵相乘所需的乘法次数最少。每个矩阵Ai与其后继矩阵Ai+1都是可相乘的，即Ai的列数等于Ai+1的行数。例如，对于矩阵序列10×100、100×5、5×50，需要找到一种最佳的乘法顺序，使得总的乘法次数最少。 #### 三、输入格式输入数据由多组测试数据组成。首先是一个整数C，表示有C组测试数据。接着是2C行数据，每组测试数据占2行。每组测试数据的第一行是一个整数n，表示矩阵序列的长度。第二行是n+1个整数，表示这n个矩阵的行数及其最后一个矩阵的列数，各个数之间用空格隔开。 #### 四、输出格式输出应包含C行，每行对应一组测试数据的结果，即计算出的矩阵连乘积所需的最少乘法次数。 #### 五、样例 **输入示例：** ``` 1 3 10 100 5 50 ``` **输出示例：** ``` 7500 ``` #### 六、代码实现解决这个问题的关键在于动态规划算法的应用。下面给出了一段C语言的代码实现： ```c #include<stdio.h> #define N 20 int p[N], m[N][N], s[N][N]; void MatrixChain(int n, int p[], int m[][N], int s[][N]) { int q, i, r, j, k, t; for (q = 1; q <= n; q++) m[q][q] = 0; for (r = 2; r <= n; r++) for (i = 1; i <= n - r + 1; i++) { j = i + r - 1; m[i][j] = m[i + 1][j] + p[i - 1] * p[i] * p[j]; s[i][j] = i; for (k = i + 1; k < j; k++) { t = m[i][k] + m[k + 1][j] + p[i - 1] * p[k] * p[j]; if (t < m[i][j]) { m[i][j] = t; s[i][j] = k; } } } } int main() { int c, n, i; scanf("%d", &c); while (c--) { scanf("%d", &n); for (i = 0; i <= n; i++) scanf("%d", &p[i]); MatrixChain(n, p, m, s); printf("%d\n", m[1][n]); } return 0; } ``` ### 七、总结通过以上分析和代码实现，我们可以看到，矩阵连乘问题可以通过动态规划的方法高效地求解。该方法不仅能够找到最优的乘法顺序，还能有效地减少所需的计算资源。这种思路同样适用于其他类似的问题，在实际应用中有着广泛的价值。

这个问题其实是矩阵链乘法问题，可以使用动态规划来解决。假设矩阵连乘积的次序为(A1A2…Ak)(Ak+1Ak+2…An)，则计算出(A1A2…Ak)和(Ak+1Ak+2…An)的最优次序，然后将它们相乘即可。设m[i,j]表示计算矩阵Ai到Aj的最少数乘次数，则有状态转移方程： m[i,j] = min{m[i,k]+m[k+1,j]+pi-1pkpj}, i<=k<j 其中，pi-1pkpj表示矩阵Ai到Aj的乘积所需的数乘次数。通过枚举k，可以求出m[i,j]的最小值。同时，还需要记录计算矩阵Ai到Aj的最优次序，即在哪个位置k处分割矩阵连乘积。可以使用s[i,j]来记录，s[i,j]的值表示计算Ai到Aj的最优次序中，第一个相乘的矩阵是Ak和Ak+1之间的那个矩阵。最终，计算出m[1,n]和s[1,n]后，就可以根据s数组来构造出最优次序了。具体实现可以参考下面的代码：

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给定n个矩阵｛A1,A2,…,An｝（n<=40），其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1，2…，n。第i个矩阵的维数用p i−1 ​ ，p i ​ 来表示。如何确 定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。

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