设原样本$\mathbf{X}$的协方差矩阵为$C$. 考虑旋转变换(样本围绕点$\boldsymbol{p}$顺时针旋转$\theta$). 试求解变换后的样本$\hat{\mathbf{X}}$对应的协方差矩阵是否与原来的矩阵相同

设旋转矩阵为$R(\theta)$，则变换后的样本$\hat{\mathbf{X}}=R(\theta)(\mathbf{X}-\boldsymbol{p})+\boldsymbol{p}$。由于$R(\theta)$是正交矩阵，有$R(\theta)R(\theta)^T=I$，其中$I$为单位矩阵。因此，变换后样本的协方差矩阵为：

$$
\begin{aligned}
\hat{C} &= \frac{1}{n}(\hat{\mathbf{X}}-\boldsymbol{\mu})(\hat{\mathbf{X}}-\boldsymbol{\mu})^T \\
&= \frac{1}{n}(R(\theta)(\mathbf{X}-\boldsymbol{p})+\boldsymbol{p}-\boldsymbol{\mu})(R(\theta)(\mathbf{X}-\boldsymbol{p})+\boldsymbol{p}-\boldsymbol{\mu})^T \\
&= \frac{1}{n}(R(\theta)(\mathbf{X}-\boldsymbol{p})(\mathbf{X}-\boldsymbol{p})^TR(\theta)^T) \\
&= R(\theta)\frac{1}{n}(\mathbf{X}-\boldsymbol{p})(\mathbf{X}-\boldsymbol{p})^TR(\theta)^T \\
&= R(\theta)CR(\theta)^T
\end{aligned}
$$

因此，变换后的样本$\hat{\mathbf{X}}$对应的协方差矩阵为原矩阵$C$经过旋转矩阵$R(\theta)$的变换得到的矩阵$R(\theta)CR(\theta)^T$，一般来说，这个矩阵与原矩阵$C$不相同。