多元正态分布:从样本数据矩阵到随机向量变换
"该文主要介绍了多元正态分布的概念、性质以及如何通过线性变换来描述随机向量的分布。" 在统计学和概率论中,多元正态分布是正态分布的一种扩展,用于处理多于一个随机变量的情况。标题中的“样本数据矩阵”是指在研究多个随机变量时,收集到的观测值组成的矩阵,它是一个随机矩阵,具有特定的数学期望和概率特性。描述中的“观测值矩阵”同样强调了这是一种包含多个观测值的数据结构。 在多元正态分布中,随机向量 \( \mathbf{u} \) 的每一个元素都独立同分布,并且服从均值为 \( \mathbf{0} \)、协方差矩阵为 \( \mathbf{I} \) 的一元正态分布。多元正态分布的概率密度函数可以表示为: \[ f(\mathbf{u}) = \frac{1}{(2\pi)^{\frac{p}{2}}|\mathbf{\Sigma}|^{\frac{1}{2}}} \exp\left(-\frac{1}{2}(\mathbf{u}-\mathbf{\mu})^\top \mathbf{\Sigma}^{-1}(\mathbf{u}-\mathbf{\mu})\right) \] 其中,\( \mathbf{\mu} \) 是 \( p \) 维随机向量 \( \mathbf{u} \) 的均值向量,\( \mathbf{\Sigma} \) 是对应的协方差矩阵,\( p \) 表示随机向量的维度,\( |\mathbf{\Sigma}| \) 是协方差矩阵的行列式。 如果存在一个非退化矩阵 \( \mathbf{A} \),使得 \( \mathbf{x} = \mathbf{Au} \),那么 \( \mathbf{x} \) 的分布就是一个非退化的多元正态分布,记为 \( \mathbf{x} \sim N_p(\mathbf{A\mu}, \mathbf{A\Sigma A^\top}) \)。这里,\( \mathbf{x} \) 的均值为 \( \mathbf{A\mu} \),协方差矩阵为 \( \mathbf{A\Sigma A^\top} \)。 线性变换对多元正态分布的影响体现在,通过雅可比行列式 \( J = |\mathbf{A}| \) 来调整概率密度函数,保持整体的概率不变。因此,原始随机向量 \( \mathbf{u} \) 的密度函数可以通过线性变换转换为 \( \mathbf{x} \) 的密度函数: \[ f(\mathbf{x}) = f(\mathbf{Au})|J| = \frac{1}{(2\pi)^{\frac{p}{2}}|\mathbf{\Sigma}|^{\frac{1}{2}}} |J| \exp\left(-\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\mathbf{A\mu})^\top (\mathbf{A}\mathbf{\Sigma}\mathbf{A}^\top)^{-1}(\mathbf{x}-\mathbf{A\mu})\right) \] 这个公式说明了多元正态分布的随机变量在经过线性变换后,依然保持正态分布的特性,只是均值和协方差矩阵会相应地改变。 总结来说,多元正态分布是处理多维数据的重要概率模型,它具有丰富的统计性质,如旋转不变性和椭球形的密度形状。在线性变换下,多元正态分布的性质可以方便地推导,这在数据分析、回归分析、假设检验等领域有广泛的应用。
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