matlab使用高斯消去法求逆矩阵

以下是使用高斯消去法求逆矩阵的MATLAB代码：

function [invA] = gauss_inv(A)
% 高斯消去法求矩阵A的逆矩阵
% A：原矩阵
% invA：逆矩阵

n = size(A,1);
E = eye(n); % 单位矩阵

for i = 1:n
% 消元
for j = i+1:n
m = A(j,i) / A(i,i);
A(j,:) = A(j,:) - m * A(i,:);
E(j,:) = E(j,:) - m * E(i,:);
end
% 归一
m = A(i,i);
A(i,:) = A(i,:) / m;
E(i,:) = E(i,:) / m;
end

for i = n:-1:2
% 消元
for j = i-1:-1:1
m = A(j,i) / A(i,i);
A(j,:) = A(j,:) - m * A(i,:);
E(j,:) = E(j,:) - m * E(i,:);
end
end

invA = E;

end

注意：该代码只适用于非奇异矩阵。如果原矩阵是奇异矩阵，则无法求出逆矩阵。

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MATLAB可以使用高斯消去法和列主元高斯消去法来解决线性方程组Ax=b的问题。其中，高斯消去法是一种基本的线性代数算法，它通过消元的方式将系数矩阵A转化为一个上三角矩阵，然后通过回代的方式求解出未知数向量x。而列主元高斯消去法则是在高斯消去法的基础上，每次选取主元时选择当前列中绝对值最大的元素作为主元，以提高数值稳定性。

下面是使用MATLAB进行高斯消去法和列主元高斯消去法求解线性方程组的示例代码：

% 高斯消去法求解线性方程组Ax=b
function x = gauss_elimination(A, b)
    n = size(A, 1);
    for k = 1:n-1
        for i = k+1:n
            factor = A(i,k) / A(k,k);
            A(i,k:n) = A(i,k:n) - factor * A(k,k:n);
            b(i) = b(i) - factor * b(k);
        end
    end
    x = zeros(n, 1);
    x(n) = b(n) / A(n,n);
    for i = n-1:-1:1
        x(i) = (b(i) - A(i,i+1:n)*x(i+1:n)) / A(i,i);
    end
end

% 列主元高斯消去法求解线性方程组Ax=b
function x = gauss_elimination_partial_pivot(A, b)
    n = size(A, 1);
    for k = 1:n-1
        [~, pivot] = max(abs(A(k:n,k)));
        pivot = pivot + k - 1;
        if pivot ~= k
            A([k,pivot],k:n) = A([pivot,k],k:n);
            b([k,pivot]) = b([pivot,k]);
        end
        for i = k+1:n
            factor = A(i,k) / A(k,k);
            A(i,k:n) = A(i,k:n) - factor * A(k,k:n);
            b(i) = b(i) - factor * b(k);
        end
    end
    x = zeros(n, 1);
    x(n) = b(n) / A(n,n);
    for i = n-1:-1:1
        x(i) = (b(i) - A(i,i+1:n)*x(i+1:n)) / A(i,i);
    end
end

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列主元高斯消去法解Hilbert矩阵matlab

以下是使用列主元高斯消去法解Hilbert矩阵的Matlab代码：

n = 5; % 矩阵维度
A = hilb(n); % 生成Hilbert矩阵
b = ones(n,1); % 生成右侧向量
L = eye(n); % 初始化下三角矩阵
U = zeros(n); % 初始化上三角矩阵

% 列主元高斯消去法
for k = 1:n-1
    [~,p] = max(abs(A(k:n,k))); % 找到列主元
    p = p + k - 1;
    if p ~= k
        A([p k],:) = A([k p],:);
        b([p k]) = b([k p]);
        L([p k],1:k-1) = L([k p],1:k-1);
    end
    for i = k+1:n
        L(i,k) = A(i,k)/A(k,k);
        A(i,:) = A(i,:) - L(i,k)*A(k,:);
        b(i) = b(i) - L(i,k)*b(k);
    end
end

U = triu(A); % 上三角矩阵
y = L\b; % 解Ly=b
x = U\y; % 解Ux=y

其中，`n`为矩阵维度，`A`为Hilbert矩阵，`b`为右侧向量。在循环中，首先找到列主元并交换矩阵和向量的行，然后计算下三角矩阵的元素，最后得到上三角矩阵。最后，使用`L\b`求解Ly=b，再使用`U\y`求解Ux=y，得到方程的解向量x。