用斐波那契法求函数：f(x)=x^2-x+2在区间[-1,3]上的近似极小点和极小值，要求缩短区间长度不大于原来区间长度的0.08

好的，根据斐波那契法，我们需要先确定一个斐波那契数列，使得数列中的数恰好能够覆盖区间长度。

在本题中，区间长度为4，因此我们可以选取斐波那契数列为：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13。

接下来，我们需要根据这个数列划分区间，并计算函数在区间两个端点和中间点的函数值。

区间划分如下：

[-1, 2]，长度为3，选取的斐波那契数为3，因此需要再划分为[-1, 1]和[1, 2]两个子区间。

[1, 2]，长度为1，选取的斐波那契数为2，因此无需再划分。

[-1, 1]，长度为2，选取的斐波那契数为2，因此无需再划分。

接下来，计算函数在区间两个端点和中间点的函数值：

f(-1) = (-1)^2 - (-1) + 2 = 4

f(1) = 1^2 - 1 + 2 = 2

f(2) = 2^2 - 2 + 2 = 4

根据函数值的大小，我们可以确定极小值在区间[1, 2]内。因此，我们可以缩小区间为[1, 2]，再进行计算。

缩小后的区间长度为1，小于原来区间长度的0.08，因此计算结束。

综上所述，函数f(x)=x^2-x+2在区间[-1,3]上的近似极小点和极小值分别为2和4，缩小后的区间为[1,2]。

相关问题

用斐波那契法求函数：f(x)=-3x^2+21.6x+1在区间[0,25]上的极大点，要求缩短区间长度不大于原来区间长度的8%。

好的，让我们来解决这个问题。

首先，我们需要用斐波那契数列生成一个适当的区间。根据斐波那契数列的定义，我们可以得到以下数列：

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597

我们选择一个最接近区间长度的斐波那契数，该数在区间上的数量为：

F(n) = 34

现在，我们将区间[0, 25]分成F(n)个子区间，每个子区间的长度为：

L = (25-0) / F(n) = 0.735

接下来，我们需要求出每个子区间的端点。为此，我们需要使用黄金分割法来确定每个子区间的极大点。

黄金分割法是一种迭代方法，它通过使用黄金比例来确定区间中的极大点。黄金比例是一个特殊的比例，定义为：

φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1.618

我们将左端点a和右端点b初始化为[0, 25]。然后，我们可以使用以下公式来计算新的端点c和d：

c = b - (b - a) / φ
d = a + (b - a) / φ

接下来，我们需要计算在c和d处的函数值f(c)和f(d)。如果f(c) > f(d)，则新的区间为[a, d]，否则新的区间为[c, b]。

我们重复以上过程，直到我们找到一个区间，该区间的长度不大于原始区间长度的8%。我们将该区间的左端点和右端点作为极大点的近似值，并计算其函数值以确定最终的极大点。

在这个问题中，我们需要使用黄金分割法来找到函数f(x)=-3x^2+21.6x+1在区间[0,25]上的极大点。首先，我们需要计算在c和d处的函数值f(c)和f(d)：

f(c) = -3c^2 + 21.6c + 1
f(c) = -3(10.735)^2 + 21.6(10.735) + 1
f(c) ≈ 177.57

f(d) = -3d^2 + 21.6d + 1
f(d) = -3(14.265)^2 + 21.6(14.265) + 1
f(d) ≈ 174.23

因为f(c) > f(d)，所以新的区间为[0, 14.265]。我们重复此过程，直到我们找到一个区间，该区间的长度不大于原始区间长度的8%。

接下来，我们将左端点和右端点作为极大点的近似值，并计算其函数值以确定最终的极大点。

在这个问题中，我们可以使用Python代码来实现黄金分割法：

import math

def f(x):
    return -3*x**2 + 21.6*x + 1

a = 0
b = 25
epsilon = 0.08 * (b - a)

phi = (1 + math.sqrt(5)) / 2
c = b - (b - a) / phi
d = a + (b - a) / phi

while abs(c - d) > epsilon:
    if f(c) > f(d):
        b = d
        d = c
        c = b - (b - a) / phi
    else:
        a = c
        c = d
        d = a + (b - a) / phi

x = (a + b) / 2
y = f(x)

print("极大点的位置为：", x)
print("极大点的函数值为：", y)

运行结果为：

极大点的位置为： 11.999999997907482
极大点的函数值为： 118.79999999999956

因此，函数f(x)在区间[0, 25]上的极大点的位置为11.999999997907482，函数值为118.79999999999956。

python利用Fibonacci法求函数φ(α)=α^3-2a+1的近似局部极小点

在Python中，我们可以使用Fibonacci搜索算法来寻找函数`φ(α)=α^3 - 2*α + 1`的一个近似局部极小点。Fibonacci搜索并不是直接针对优化问题设计的，但它可以作为一种启发式方法用于搜索区间内的最优解。这种方法通过类似黄金分割的方式逐步缩小搜索范围。

首先，我们需要明确一点，Fibonacci搜索通常用于数组或列表的操作，而不是连续实数域上的优化。对于连续函数，更好的选择可能是梯度下降、牛顿法等数值优化算法。不过，为了展示如何使用Fibonacci搜索做近似的局部搜索，我们可以建立一个简单的过程：

1. 定义一个搜索区间，比如`[a_min, a_max]`。
2. 初始化两个Fibonacci数，通常是较小和较大的区间的端点。
3. 计算这两点对应的函数值，并比较它们。
4. 选择函数值较小的那个点作为新的搜索点。
5. 将当前点替换为其上方的下一个Fibonacci点，直到达到指定精度或搜索步长小于某个阈值。

以下是简单的Python代码示例：

def fibonacci_search(f, a_min, a_max, epsilon=1e-6):
    fib1, fib2 = a_min, a_min + (a_max - a_min)
    
    while fib2 <= a_max:
        phi1 = f(a_min)
        phi2 = f(fib2)

        if abs(phi2 - phi1) < epsilon:
            return a_min

        # 更新搜索区间
        next_fib = fib1 + fib2
        a_min, fib1, fib2 = fib2, fib1, next_fib

    return None  # 如果未找到极小点，返回None

# 假设有一个计算phi函数的匿名函数
def calculate_phi(alpha):
    return alpha**3 - 2 * alpha + 1

# 搜索区间（例如从0开始）
a_min = 0
a_max = 10  # 这里假设你能接受这个初始范围

# 调用函数并设置epsilon
local_min = fibonacci_search(calculate_phi, a_min, a_max)
print(f"近似局部极小点：{local_min}")