利用MATLAB给出代码求系统在输入f(t)=sin(1/2pit)时的零状态响应

根据上面的求解过程，系统的零状态响应为：

y_h(t) = c1 * e^(-2t) + c2 * t * e^(-2t)

其中，c1和c2是待定常数，是由初始条件决定的。

现在考虑输入f(t) = sin(1/2*pi*t)，可以使用MATLAB的ode45函数求解。代码如下：

function dydt = myode(t,y)
    dydt = zeros(2,1);
    dydt(1) = y(2);
    dydt(2) = -4*y(2) - 4*y(1) + sin(0.5*pi*t);
end

[t,y] = ode45(@myode, [0 10], [0 0]);
y_h = y(:,1) - 0.5*sin(0.5*pi*t); % 零状态响应
plot(t, y_h);
xlabel('t');
ylabel('y_h(t)');
title('Zero-state response');

解释一下代码：

1. 定义了一个函数myode，用来表示y''(t) + 4y'(t) + 4y(t) = f'(t) + f(t)的右端项。该函数的输入参数t和y分别表示自变量t和因变量y，输出参数dydt是y对t的导数。

2. 调用ode45函数求解ODE。其中，@myode表示ODE的右端项，[0 10]表示求解的时间范围，[0 0]表示初始条件。

3. 计算零状态响应y_h。由于f(t) = sin(1/2*pi*t)，因此f'(t) = 0.5*pi*cos(0.5*pi*t)，可以直接用sin(0.5*pi*t)代替f(t)。由于y_h(0) = 0，因此需要减去0.5*sin(0.5*pi*t)。

4. 绘制零状态响应图像。

运行代码后，可以得到系统在输入f(t) = sin(1/2*pi*t)时的零状态响应曲线。