matlab最小二乘法拟合一个二次函数

假设有一组数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，要用最小二乘法拟合一个二次函数y = ax^2 + bx + c。

首先，将二次函数表示成向量形式：

y = [a, b, c] * [x^2, x, 1]'

其中，'表示转置。

然后，构造系数矩阵A和常数向量b：

A = [x1^2, x1, 1;
x2^2, x2, 1;
...
xn^2, xn, 1];

b = [y1;
y2;
...
yn];

接下来，使用最小二乘法计算向量y的值：

y = inv(A'*A) * A' * b;

最后，可以将拟合的二次函数绘制出来，以检查拟合效果。

相关问题

matlab 最小二乘法拟合二次函数

假设有一组数据点 $(x_i, y_i)$，我们要用最小二乘法拟合一个二次函数 $y=a x^2+b x+c$，其中 $a$、$b$、$c$ 是待求的参数。

最小二乘法的思路是，使拟合函数与数据点的误差平方和最小。即，定义误差函数 $E=\sum_i (y_i - a x_i^2 - b x_i - c)^2$，我们要找到使 $E$ 最小的 $a$、$b$、$c$。

为了求解 $a$、$b$、$c$，我们可以对 $E$ 分别对 $a$、$b$、$c$ 求偏导数，并令偏导数为 0，得到三个方程：

$$
\begin{aligned}
\frac{\partial E}{\partial a}=2\sum_i (y_i-ax_i^2-bx_i-c)(-x_i^2)&=0 \\
\frac{\partial E}{\partial b}=2\sum_i (y_i-ax_i^2-bx_i-c)(-x_i)&=0 \\
\frac{\partial E}{\partial c}=2\sum_i (y_i-ax_i^2-bx_i-c)(-1)&=0
\end{aligned}
$$

将 $a$、$b$、$c$ 的解代入二次函数 $y=a x^2+b x+c$ 中，就得到了最小二乘法拟合的二次函数。

在 MATLAB 中，可以使用 polyfit 函数实现最小二乘法拟合。具体方法如下：

假设有数据点 $(x_i, y_i)$ 存储在两个向量 x 和 y 中，要拟合的二次函数为 $y=a x^2+b x+c$，可以使用以下代码求解 $a$、$b$、$c$：

p = polyfit(x, y, 2); % 拟合二次函数
a = p(1);
b = p(2);
c = p(3);

其中，第一个参数是 x 向量，第二个参数是 y 向量，第三个参数是拟合函数的次数，这里设为 2。拟合结果存储在向量 p 中，第一个元素是 $a$，第二个元素是 $b$，第三个元素是 $c$。

拟合结果可以用 polyval 函数在一定范围内计算函数值，例如：

x_fit = linspace(min(x), max(x), 100); % 生成 100 个 x 值
y_fit = polyval(p, x_fit); % 计算对应的 y 值
plot(x, y, 'o', x_fit, y_fit); % 绘制数据点和拟合曲线

其中，第一个参数是生成 x 值的范围，第二个参数是拟合函数的系数向量。生成的 x 值存储在向量 x_fit 中，计算出的 y 值存储在向量 y_fit 中。最后用 plot 函数绘制数据点和拟合曲线。

matlab最小二乘法拟合二次函数

在MATLAB中，可以使用最小二乘法来拟合二次函数。首先，我们需要准备我们的数据集，包括自变量和因变量。然后，我们可以使用polyfit函数来进行拟合。polyfit函数的语法如下：

p = polyfit(x, y, n)

其中，x是自变量的值，y是因变量的值，n是要拟合的多项式的阶数。对于拟合二次函数，n应该是2。拟合完成后，p将是包含拟合系数的向量。

接下来，我们可以使用polyval函数来计算拟合的二次函数在指定自变量值上的因变量值。polyval函数的语法如下：

yfit = polyval(p, x)

在上面的语法中，p是拟合系数向量，x是自变量的值，yfit将是拟合的二次函数在对应x值上的因变量值。

最后，我们可以使用plot函数将原始数据和拟合的二次函数在同一张图上进行绘制，以便直观地观察拟合效果。plot函数的语法如下：

plot(x, y, 'o', x, yfit, '-')

在上面的语法中，'o'表示原始数据点的标记，'-'表示拟合的二次函数的线条。

通过上面的步骤，我们就可以在MATLAB中使用最小二乘法来拟合二次函数，并且可视化拟合结果。