证明向量v=(A,B)是直线Ax+By+C=0的法向量

该直线的法向量应该垂直于该直线，即在直线上取两点P1和P2，向量P1P2必为该直线的法向量。因此我们需要找到两个点P1和P2，满足$Ax+By + C = 0$。

假设P1为$(0, -C/B)$，P2为$(1, (-A-C)/B)$，则$\vec{P1P2}=(1,-A/B)$。而向量$v=(A,B)$满足$\vec{v}\cdot\vec{P1P2}=A-B\times\frac{A+C}{B}=A-A-C= -C$，因此$v$是直线$Ax+By+C=0$的法向量。

相关问题

多元函数极值法求两直线距离

设两直线分别为 $L_1: Ax+By+C_1=0$ 和 $L_2: Ax+By+C_2=0$，我们需要求解两直线的距离（即两直线间最短的距离）。

我们可以先求出两个点 $P_1(x_1, y_1)$ 和 $P_2(x_2, y_2)$，分别位于直线 $L_1$ 和 $L_2$ 上，并且它们的连线是两直线的垂线。然后，我们可以使用两点之间的距离公式求出 $P_1$ 和 $P_2$ 之间的距离，即为两直线的距离。

现在我们来求解点 $P_1$ 和 $P_2$。

设点 $P(x, y)$，则点 $P$ 到直线 $Ax+By+C=0$ 的距离公式为：

$$d=\frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

因为点 $P_1$ 在直线 $L_1$ 上，所以有：

$$d_1=\frac{|Ax_1+By_1+C_1|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

将 $x_1$ 和 $y_1$ 带入直线 $L_2$，得到：

$$d_1=\frac{|Ax_1+B(-\frac{A}{B}x_1-\frac{C_1}{B})+C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{|Ax_1-By_1+C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

同理，点 $P_2$ 在直线 $L_2$ 上，所以有：

$$d_2=\frac{|Ax_2-By_2+C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

将 $x_2$ 和 $y_2$ 带入直线 $L_1$，得到：

$$d_2=\frac{|Ax_2+B(-\frac{A}{B}x_2-\frac{C_1}{B})+C_1|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{|Ax_2-By_2+C_1|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

因为点 $P_1$ 和 $P_2$ 都在两条直线的垂线上，所以它们的连线垂直于两条直线。因此，我们可以列出点 $P_1$ 和 $P_2$ 之间的向量与两条直线的法向量垂直的条件：

$$(x_1-x_2, y_1-y_2)\cdot (A, B)=0$$

化简得：

$$A(x_1-x_2)+B(y_1-y_2)=0$$

解得：

$$\begin{cases}
x_1=x_2+\frac{AB(y_2-y_1)}{A^2+B^2}\\
y_1=y_2+\frac{AB(x_2-x_1)}{A^2+B^2}
\end{cases}$$

将 $x_1$ 和 $y_1$ 带入 $d_1$ 和 $d_2$ 中，得到：

$$\begin{cases}
d_1=\frac{|A(x_2+\frac{AB(y_2-y_1)}{A^2+B^2})-B(y_2+\frac{AB(x_2-x_1)}{A^2+B^2})+C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}\\
d_2=\frac{|A(x_2-\frac{AB(y_2-y_1)}{A^2+B^2})-B(y_2-\frac{AB(x_2-x_1)}{A^2+B^2})+C_1|}{\sqrt{A^2+B^2}}
\end{cases}$$

现在，我们需要求解 $d_1$ 和 $d_2$ 的最小值。我们可以建立一个函数：

$$f(x_2,y_2)=d_1^2+d_2^2$$

对函数 $f(x_2,y_2)$ 求偏导数：

$$\begin{cases}
\frac{\partial f}{\partial x_2}=-2\frac{AB(Bd_1^2-Ad_2^2)}{(A^2+B^2)^2}\\
\frac{\partial f}{\partial y_2}=-2\frac{AB(Ad_1^2-Bd_2^2)}{(A^2+B^2)^2}
\end{cases}$$

令偏导数为零，得到：

$$\begin{cases}
Ad_1^2=Bd_2^2\\
Bd_1^2=Ad_2^2
\end{cases}$$

解得：

$$\begin{cases}
d_1=\frac{|C_2-C_1|}{\sqrt{A^2+B^2}}\\
d_2=\frac{|C_2-C_1|}{\sqrt{A^2+B^2}}
\end{cases}$$

因此，两直线的距离为 $d=\frac{|C_2-C_1|}{\sqrt{A^2+B^2}}$。

matlab 求直线[-1,-1]*([x1;x2]-[-0.100000000000000;-0.100000000000000])=0上的两点

这个方程是直线的点法式方程，其中点 $P=(-0.1,-0.1)$ 是直线上的一点，向量 $[-1,-1]$ 是直线的法向量。我们可以先将方程改写为一般式方程，即 $Ax+By+C=0$ 的形式：

$$
-1(x_1+0.1)-1(x_2+0.1)+0=0
$$

化简得：

$$
x_1+x_2=-0.2
$$

现在我们来求直线上的两个点。我们可以随意选取一个点，然后利用直线的法向量求出与该点距离为 $d$ 的另一个点，其中 $d$ 是任意给定的距离。这里我们选取点 $(0,0)$，并假设与该点距离为 $1$ 的点为 $(x_1,x_2)$。根据点法式方程，直线上任意一点 $(x_1,x_2)$ 必须满足：

$$
[-1,-1]\cdot \left(\begin{matrix}x_1\\x_2\end{matrix}\right)=[-1,-1]\cdot \left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)
$$

即：

$$
-1(x_1-0)-1(x_2-0)=0
$$

化简得：

$$
x_1+x_2=0
$$

因此，直线上与点 $(0,0)$ 距离为 $1$ 的另一个点为 $(x_1,x_2)=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$。同理，我们可以选取点 $(1,0)$，假设与该点距离为 $1$ 的点为 $(x_1,x_2)$，并根据点法式方程求出另一个点。化简后得到方程：

$$
x_1+x_2=-1
$$

解得 $(x_1,x_2)=\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)$。因此，直线上的两个点分别为 $(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}})$ 和 $(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$。