均匀分布协方差公式推导
时间: 2023-10-28 15:51:22 浏览: 69
假设 $X$ 和 $Y$ 是两个均匀分布的随机变量,其概率密度函数为:
$$
f_X(x) = \begin{cases}
\frac{1}{b-a}, & a \leq x \leq b \\
0, & \text{otherwise}
\end{cases}
$$
$$
f_Y(y) = \begin{cases}
\frac{1}{d-c}, & c \leq y \leq d \\
0, & \text{otherwise}
\end{cases}
$$
其中 $a, b, c, d$ 分别是 $X$ 和 $Y$ 的取值范围。
我们可以计算 $X$ 和 $Y$ 的期望和方差:
$$
\begin{aligned}
E(X) &= \int_a^b \frac{x}{b-a} dx = \frac{a+b}{2} \\
E(Y) &= \int_c^d \frac{y}{d-c} dy = \frac{c+d}{2} \\
Var(X) &= E(X^2) - (E(X))^2 = \int_a^b \frac{x^2}{b-a} dx - \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 = \frac{(b-a)^2}{12} \\
Var(Y) &= E(Y^2) - (E(Y))^2 = \int_c^d \frac{y^2}{d-c} dy - \left(\frac{c+d}{2}\right)^2 = \frac{(d-c)^2}{12}
\end{aligned}
$$
我们可以进一步计算 $XY$ 的期望和协方差:
$$
\begin{aligned}
E(XY) &= \int_a^b \int_c^d \frac{xy}{(b-a)(d-c)} dydx \\
&= \frac{1}{(b-a)(d-c)} \int_a^b \left(\frac{xy^2}{2}\bigg|_c^d\right) dx \\
&= \frac{1}{2(b-a)(d-c)} \int_a^b (xd^2-xc^2) dx \\
&= \frac{(d^2-c^2)(b^2-a^2)}{12(b-a)(d-c)} \\
&= \frac{(a+b)(c+d)}{4} - \frac{(ad+bc)}{2} + \frac{ac+bd}{4}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
cov(X,Y) &= E(XY) - E(X)E(Y) \\
&= \frac{(a+b)(c+d)}{4} - \frac{(ad+bc)}{2} + \frac{ac+bd}{4} - \frac{(a+b)(c+d)}{4} \\
&= \frac{1}{4}(ad+bc-ac-bd) \\
&= \frac{1}{4}(a-b)(d-c)
\end{aligned}
$$
因此,均匀分布的 $X$ 和 $Y$ 的协方差为 $\frac{1}{4}(a-b)(d-c)$。
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