非线性最小二乘问题的高斯牛顿法的数值例子,和matlab程序
时间: 2023-05-08 17:01:50 浏览: 181
高斯牛顿法是一种求解非线性最小二乘问题的迭代算法,其基本思想是利用牛顿法的思想对目标函数进行二次近似,并不断迭代求解。
我们考虑一个简单的非线性最小二乘问题:
$$ \min_{x\in \mathbb{R}^n} f(x) = \sum_{i=1}^{m} (x_1e^{x_2t_i}-y_i)^2 $$
其中 $t_i$ 和 $y_i$ 均已知,我们要求解的是 $x$。
我们可以使用高斯牛顿法来求解该问题,具体的算法步骤为:
1. 初始化 $x_0$
2. 对于 $k=0,1,2\cdots$,计算 $\Delta x_k$,其中
$$ \Delta x_k = -(J_k^TJ_k)^{-1}J_k^Tf(x_k) $$
其中 $J_k$ 为目标函数 $f(x)$ 在 $x_k$ 处的雅可比矩阵。
3. 计算 $x_{k+1} = x_k +\Delta x_k$
4. 如果 $||\Delta x_k||\leq \epsilon$,则停止迭代,否则转到步骤 2。
使用 MATLAB 可以很方便地实现高斯牛顿法,下面给出一个简单的实现:
```matlab
function x = gauss_newton(t, y, x0, eps)
% 非线性最小二乘问题的高斯牛顿法实现
m = length(y); % 样本数
n = length(x0); % 自变量维度
x = x0;
while true
% 计算目标函数和雅可比矩阵
f = zeros(m, 1);
J = zeros(m, n);
for i = 1:m
f(i) = x(1)*exp(x(2)*t(i))-y(i);
J(i,1) = exp(x(2)*t(i));
J(i,2) = x(1)*t(i)*exp(x(2)*t(i));
end
% 计算更新方向
delta_x = -(J'*J)\J'*f;
% 更新自变量
x = x + delta_x;
% 判断是否满足停止条件
if norm(delta_x) < eps
break;
end
end
end
```
我们可以使用上述程序来求解上述非线性最小二乘问题,具体的使用方法为:
```matlab
% 示例数据
t = [0:0.1:1]';
y = [2.04 2.05 2.06 2.09 2.10 2.11 2.14 2.15 2.16 2.19 2.20]';
% 初始化自变量
x0 = [1;1];
% 求解
x = gauss_newton(t, y, x0, 1e-6);
```