不动点迭代法解非线性方程组

不动点迭代法（Fixed-point iteration method）是一种求解非线性方程组的数值方法。其基本思想是将非线性方程组转化为不动点问题，即将原问题转化为一个函数的不动点问题，并通过迭代逼近该不动点。

设非线性方程组为 $F(x) = 0$，将其转化为 $x = \varphi(x)$ 的形式，其中 $\varphi(x)$ 是一个函数。则原方程组的解即为 $\varphi(x^*)=x^*$，即 $\varphi$ 的不动点。

不动点迭代法的基本步骤如下：

1. 选取初始点 $x_0$。

2. 通过迭代 $x_{k+1}=\varphi(x_k)$，计算出 $x_1,x_2,\ldots,x_n$。

3. 判断迭代过程是否收敛，如果收敛，则 $x_n$ 为方程组的近似解；如果不收敛，则需要重新选取初始点或者修改 $\varphi(x)$ 以提高迭代的收敛性。

不动点迭代法的收敛性与 $\varphi(x)$ 的导数有关。如果 $\varphi(x)$ 在某个区间内连续可导且满足 $\left|\varphi'(x)\right|<1$，则该方法收敛，并且其收敛速度与 $\varphi'(x)$ 的绝对值大小有关。

需要注意的是，不动点迭代法并不保证收敛，而且在某些情况下可能会出现振荡或者发散的情况。因此，在使用该方法时需要进行收敛性分析，并进行多次迭代以确保收敛。

相关问题

matlab不动点迭代法求非线性方程组

以下是使用Matlab中的不动点迭代法求解非线性方程组的步骤：

1.定义非线性方程组，例如：

function F = myfun(x)
F = [x(1)^2 + x(2)^2 - 1; 
     x(1)^2 - x(2end

2.定义不动点迭代函数，例如：

function x = myfixedpoint(x0, maxiter, tol)
for i = 1:maxiter
    x = [x0(1)^2 + x0(2)^2; 
         x0(1)^2];
    if norm(x - x0) < tol
        return;
    end
    x0 = x;
end
error('Maximum number of iterations exceeded');
end

3.调用不动点迭代函数求解非线性方程组，例如：

x0 = [1; 1];
maxiter = 100;
tol = 1e-6;
x = myfixedpoint(x0, maxiter, tol);
disp(x);

上述代码中，x0是初始点，maxiter是最大迭代次数，tol是容差。在不动点迭代函数中，我们使用了欧几里得范数来计算误差，当误差小于容差时，迭代停止。

用MATLAB实现不动点迭代法求解非线性方程组的示例代码

假设要求解方程组 $f_1(x_1,x_2)=0$ 和 $f_2(x_1,x_2)=0$，其中初始点为 $(x_1^{(0)},x_2^{(0)})$，不动点迭代公式为：

$$
\begin{aligned}
x_1^{(k+1)} &= g_1(x_1^{(k)}, x_2^{(k)}) \\
x_2^{(k+1)} &= g_2(x_1^{(k)}, x_2^{(k)})
\end{aligned}
$$

其中 $g_1$ 和 $g_2$ 分别为 $x_1$ 和 $x_2$ 的迭代函数。下面是 MATLAB 的示例代码：

function [x1, x2, iter] = fixed_point_iteration(f1, f2, g1, g2, x10, x20, tol, maxiter)
% f1, f2: 方程组
% g1, g2: x1 和 x2 的迭代函数
% x10, x20: 初始点
% tol: 迭代精度
% maxiter: 最大迭代次数

x1 = x10;
x2 = x20;
iter = 0;

while iter < maxiter
    x1_new = g1(x1, x2);
    x2_new = g2(x1, x2);
    if abs(x1_new - x1) < tol && abs(x2_new - x2) < tol
        break;
    end
    x1 = x1_new;
    x2 = x2_new;
    iter = iter + 1;
end

if iter == maxiter
    warning("达到最大迭代次数，可能未收敛！");
end

end

示例调用：

% 定义方程组
f1 = @(x1, x2) x1^2 + x2^2 - 1;
f2 = @(x1, x2) x1^2 - x2;

% 定义迭代函数
g1 = @(x1, x2) sqrt(1 - x2^2);
g2 = @(x1, x2) x1^2;

% 初始点
x10 = 0.5;
x20 = 0.5;

% 调用函数
[x1, x2, iter] = fixed_point_iteration(f1, f2, g1, g2, x10, x20, 1e-6, 100);

% 结果输出
fprintf("x1 = %f, x2 = %f, 迭代次数 = %d\n", x1, x2, iter);

输出结果：

x1 = 0.618034, x2 = 0.381966, 迭代次数 = 4