给我详细讲讲解非线性方程组的仿射不变量迭代法

解非线性方程组的仿射不变量迭代法（Affine Invariant Iterative Method）是一种迭代方法，用于求解形如 $F(x)=0$ 的非线性方程组，其中 $F: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ 是一个非线性函数。

该方法基于仿射不变量的概念，即对于任意仿射变换 $T:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ 和向量 $u \in \mathbb{R}^n$，都有 $F(Tu)=0 \Leftrightarrow F(u)=0$。这个性质保证了在仿射变换下方程组的解保持不变。

该方法的基本思路是通过仿射变换将当前迭代点移动到一个方便求解的位置，然后进行一次线性迭代，再通过逆仿射变换将结果还原到原始坐标系。具体步骤如下：

1. 选定初始点 $x_0$ 和一个仿射变换 $T$。

2. 对于 $k=0,1,2,...$，执行以下步骤：

a. 计算 $y_k=T(x_k)$，将 $x_k$ 转换到仿射变换后的坐标系。

b. 解线性方程组 $J_F(y_k) \Delta y_k = -F(y_k)$，其中 $J_F(y_k)$ 是 $F(y_k)$ 的雅可比矩阵，$\Delta y_k$ 是线性迭代的步长。

c. 计算 $x_{k+1}=T^{-1}(y_k+\Delta y_k)$，将线性迭代后的结果转换回原始坐标系。

3. 如果满足终止条件，则停止迭代，否则返回第2步。

终止条件可以是方程组的残差小于某个阈值，或者迭代次数达到了预设的最大值。

该方法的优点是收敛速度较快，且对初始点的选取不敏感。缺点是需要计算雅可比矩阵和进行逆仿射变换，较为复杂。此外，该方法只能求解有唯一解的方程组。