用拒绝变换法产生一个随机变量X ,其中 X的分布为F (x) =(x^2+x)/2,0<x < 1 用拒绝变换法产生一个随机变量X ，其中X 的密度为 f (x) = xe^(−x) , 0 ≤ x < ∞，使用R语言自己编程，不可以使用调包等、

拒绝接受法（Rejection Sampling）是一种基于概率的数值模拟技术，用于生成特定概率密度函数（PDF）的随机数样本，当直接采样该PDF很困难时，可以借助其他容易采样的PDF进行。对于给定的两个分布：

1. 第一种情况：X的分布 \( F(x) = \frac{x^2 + x}{2}, \quad 0 < x < 1 \)

由于这个分布不是标准形式（例如正态分布或均匀分布），我们可以选择一个更容易处理的概率分布（如均匀分布U[0,1]），然后通过比较这两个函数来生成X。

首先，我们需要找到 \( F(x) \) 关于x的最大值（这是U[0,1]中能接受的比例）。计算最大值 \( F_{max} = max[F(0), F(1)] \)，然后从U[0,1]中生成一个随机数u，如果 \( U \leq F(x) / F_{max} \)，则接受x，否则重复。

以下是用R语言实现的简单步骤（假设没有可用的库）：

# 定义目标函数
target_pdf <- function(x) {
  x_squared_plus_x_over_two <- (x^2 + x) / 2
  return(x_squared_plus_x_over_two)
}

# 生成均匀分布的随机数
unif_random <- runif(1, min=0, max=1)

# 计算最大比例
f_max <- max(target_pdf(0), target_pdf(1))

# 循环直到接受
while (unif_random > target_pdf(random.uniform_value) / f_max) {
  random.uniform_value <- runif(1, min=0, max=1)
}

# 返回生成的X值
random_variable_X <- random.uniform_value

记得循环可能会非常慢，因为有可能需要很多次尝试才能满足条件。

2. 第二种情况：X的密度 \( f(x) = xe^{-x}, \quad 0 \leq x < \infty \)

这是一个指数分布加上线性项的混合，它本身是可以直接积分得到累积分布函数（CDF）并采样的。但是为了演示拒绝接受法，这里也可以用类似的方式，比如选择一个更大的易于处理的分布（比如较大的指数分布）进行对比。

# 对应的R语言实现
exponential_pdf <- function(x) {
  return(x * exp(-x))
}

# 直接采样会更快，但如果真的要用拒绝接受法
# 可以参照第一个例子，只是目标函数变为exponential_pdf
# 然后适当调整均匀区间的上限以适应更大范围

# ...（参考第一个例子的步骤）

# 当然，在实际操作中，直接采样指数分布会更高效