不满秩方阵实现一个矩阵共轭相乘的分解

对于一个不满秩矩阵$A\in R^{m\times n}$，我们可以通过SVD分解进行矩阵共轭相乘的分解。

SVD分解将矩阵$A$表示为：

$$A=U\Sigma V^T$$

其中$U\in R^{m\times m}$和$V\in R^{n\times n}$为酉矩阵，$\Sigma\in R^{m\times n}$为奇异值矩阵，只有对角线上存在非零值。由于$A$是不满秩矩阵，所以$\Sigma$只有前$r$个奇异值非零，可以将其表示为$\Sigma_r\in R^{r\times r}$，其中$r$为$A$的秩。

考虑$A$的共轭相乘$AA^T$，可以表示为：

$$AA^T=(U\Sigma V^T)(V\Sigma^T U^T)=U\Sigma\Sigma^T U^T$$

其中$\Sigma\Sigma^T$为对角线上存在前$r$个非零值的矩阵。因此，我们可以将$U$和$\Sigma\Sigma^T$作为矩阵共轭相乘的分解。

类似地，对于$A^TA$，我们可以表示为：

$$A^TA=(V\Sigma^T U^T)(U\Sigma V^T)=V\Sigma^T\Sigma V^T$$

其中$\Sigma^T\Sigma$为对角线上存在前$r$个非零值的矩阵。因此，我们可以将$V$和$\Sigma^T\Sigma$作为矩阵共轭相乘的分解。

综上所述，我们可以使用SVD分解来实现一个矩阵共轭相乘的分解，即：

$$AA^T=U\Sigma\Sigma^T U^T$$

$$A^TA=V\Sigma^T\Sigma V^T$$

其中$U$和$V$为酉矩阵，$\Sigma\Sigma^T$和$\Sigma^T\Sigma$为对角线上存在前$r$个非零值的矩阵。