0-1背包问题：物品数 n=4, 背包最大容量 c=100, 每个物品的重量w=[30,40,60,20], 每个物品的价值p=[50,130,100,40]。若按价值上界大者优先，请画出由分支限界法形成的状态空间搜索树。

好的，让我来回答你的问题。这是一个经典的0-1背包问题，我们可以使用分支限界法来求解。按照价值上界大者优先的策略，我们可以先将物品按照单位价值（价值/重量）从大到小排序，然后依次将物品放入背包中，直到不能再放为止。

下面是由分支限界法形成的状态空间搜索树，其中每个节点表示选择或不选择一个物品所形成的状态：


在搜索的过程中，我们要计算当前状态下的价值上界，并将其和当前最优解进行比较。如果当前状态下的价值上界比当前最优解还要小，那么这个状态就可以被剪枝，不用再搜索下去了。这样可以大大减少搜索的时间复杂度。

这就是利用分支限界法求解0-1背包问题的思路。希望对你有所帮助。

相关问题

分别使用回溯法与分支限界法解决如下0-1背包问题。物品数n=4,背包容量c=10,重量w=[3,5,7,4],价值v=[12,25,42,40]。用c语言写出代码

0-1背包问题是一个经典的动态规划问题，也可以通过回溯法和分支限界法求解。以下是这两种方法的基本思路：

**回溯法**（Backtracking）：

#include <stdio.h>

#define N 4 // 物品数
#define W 10 // 背包容量

int weights[N] = {3, 5, 7, 4};
int values[N] = {12, 25, 42, 40};

// 动态规划函数
int knapSack(int capacity, int n, int* weights, int* values) {
    int dp[capacity + 1]; // 用于存储每个状态的最大价值
    for (int i = 0; i <= capacity; ++i)
        dp[i] = 0;

    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int w = weights[i - 1]; w <= capacity; ++w) {
            if (dp[w - weights[i - 1]] + values[i - 1] > dp[w])
                dp[w] = dp[w - weights[i - 1]] + values[i - 1];
        }
    }

    return dp[capacity];
}

int main() {
    int c = W;
    printf("最大价值: %d\n", knapSack(c, N, weights, values));
    return 0;
}

**分支限界法**（Branch and Bound）需要设置一个剪枝策略来避免不必要的搜索，这里简化版示例如下：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h> // 对于内存分配和释放

void branchAndBound(int capacity, int n, int* weights, int* values, int currentWeight, int* bestSolution) {
    if (currentWeight == 0 || n == 0)
        *bestSolution = max(*bestSolution, knapSack(capacity, n, weights, values));
    else {
        int include = knapSack(capacity, n, weights, values);
        int exclude = branchAndBound(capacity, n - 1, weights, values, currentWeight - weights[n - 1], bestSolution);

        *bestSolution = max(include, exclude);
        if (include <= exclude) // 如果包含比排除更优，剪枝剩余路径
            n--;
    }
}

int main() {
    int c = W;
    int bestValue = 0;
    branchAndBound(c, N, weights, values, c, &bestValue);
    printf("最大价值: %d\n", bestValue);
    return 0;
}

这两个版本都假设物品不可分割。请注意，实际编写完整分支限界法时，需要一个优先队列数据结构来保存待处理的状态。

0-1背包问题:给定n种物品和一背包。物品i的重量是Wi其价值为Vi，背包的容量为C。编写算法实现选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大。c++

0-1背包问题是一个经典的动态规划问题。在C++中，可以使用一个二维数组dp来存储从第0到第i个物品，背包容量从0到j的最大价值。以下是一个简单的贪心策略和动态规划解决方案：

#include <vector>

using namespace std;

int knapSack(int W, vector<int>& wt, vector<int>& val, int n) {
    vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(W + 1, 0));

    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int w = 1; w <= W; ++w) {
            if (wt[i - 1] <= w) { // 如果物品i的重量小于等于当前背包容量
                dp[i][w] = max(dp[i - 1][w], dp[i - 1][w - wt[i - 1]] + val[i - 1]); // 选择包含或不包含物品i
            } else {
                dp[i][w] = dp[i - 1][w]; // 如果物品i超出了背包容量，就不选
            }
        }
    }

    return dp[n][W]; // 返回背包所能装下的最大价值
}

在这个代码中，`knapSack`函数接收背包容量W、物品重量数组wt、物品价值数组val和物品数量n作为参数。内部的两个嵌套循环分别用于遍历每个物品和每个可能的背包容量。通过比较不包含当前物品的情况和包含当前物品的情况，找到最大的价值。