0-1背包问题：物品数 n=4, 背包最大容量 c=100, 每个物品的重量w=[30,40,60,20], 每个物品的价值p=[50,130,100,40]。若按价值上界大者优先，请画出由分支限界法形成的状态空间搜索树。

好的，让我来回答你的问题。这是一个经典的0-1背包问题，我们可以使用分支限界法来求解。按照价值上界大者优先的策略，我们可以先将物品按照单位价值（价值/重量）从大到小排序，然后依次将物品放入背包中，直到不能再放为止。

下面是由分支限界法形成的状态空间搜索树，其中每个节点表示选择或不选择一个物品所形成的状态：


在搜索的过程中，我们要计算当前状态下的价值上界，并将其和当前最优解进行比较。如果当前状态下的价值上界比当前最优解还要小，那么这个状态就可以被剪枝，不用再搜索下去了。这样可以大大减少搜索的时间复杂度。

这就是利用分支限界法求解0-1背包问题的思路。希望对你有所帮助。

相关问题

1.集装箱装载问题:n=4, c1=12, w=[8, 6, 2, 3] 画出解空间树 算出约束函数和限界函数,写出每个结点的剪枝原因 求解最优值和最优解 2.0-1背包问题:n=4, 物品的价值分别为p=[9, 10, 7, 4], 重量分别为w=[3, 5, 2,

对于第一个问题，我们可以首先画出解空间树：

            (0, 0, 0, 0, 12)
           /     |    |    \
    (8, 0, 0, 0, 4) ...   (0, 0, 0, 3, 4)
    /    |    \
(8, 6, 0, 0, -4) ... 

其中每个节点表示当前已经装载的箱子重量，最后一个数表示剩余的容量，括号里的数字分别代表四个箱子的重量。我们可以根据限制条件进行剪枝，例如如果当前节点已经超过了容量限制，则可以直接剪枝。

约束函数即为限制条件，对于每个节点，我们需要满足以下条件：

1. 每个箱子的重量都不能为负数
2. 所有箱子的重量之和不能超过容量限制

限界函数则是一个估计函数，用来评估当前节点的最优解。对于每个节点，我们可以计算出当前已经装载的箱子的重量和，在加上剩余箱子的最大重量，得到一个上界。如果当前节点的上界比已知的最优解还要小，则可以进行剪枝。

最终的最优解为装载了8号和2号箱子，重量为10；最优值为10。

对于第二个问题，我们可以使用动态规划的方法来解决。具体地，我们可以使用一个二维数组dp[i][j]表示前i个物品在限重为j时的最大价值。状态转移方程为：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i-1]] + p[i-1])

其中i表示当前考虑的物品，j表示当前的限重，w和p分别表示物品的重量和价值。在计算dp[i][j]时，我们有两种选择：不装第i个物品，或者装第i个物品。如果不装第i个物品，则dp[i][j]等于dp[i-1][j]；如果装第i个物品，则dp[i][j]等于dp[i-1][j-w[i-1]] + p[i-1]。最终的最优解即为dp[n][W]，其中n为物品的数量，W为背包的容量限制。

在本例中，最优解为17，最优解为选择1、2和4号物品。

0-1背包问题，背包容量W=20物品价值p =[6,11，15,5,6，7], 物品重量w=[3, 6，3,5,4,5]。 (1) 问题的解空间是__树。 (2) 最大价值

(1) 问题的解空间是一棵二叉树，每个节点代表一种选择，在每个节点处可以选择将当前物品放入背包或不放入背包，因此有两个分支。每次选择后背包的剩余容量会减少，因此这是一棵有限深度的二叉树。

(2) 使用动态规划求解0-1背包问题，可以定义一个二维数组dp[i][j]表示将前i个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。则最终的最大价值为dp[6][20]。具体的状态转移方程为：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i-1]]+p[i-1]) j>=w[i-1]

dp[i][j] = dp[i-1][j] j<w[i-1]

其中，i表示前i个物品，j表示背包容量。在状态转移时，如果当前物品的重量大于背包剩余容量，则只能选择不放入背包，即dp[i][j] = dp[i-1][j]；否则可以选择将当前物品放入背包或不放入背包，选取两种情况中的最大值作为dp[i][j]的值。最终得到dp[6][20]=34，即将第2、3、5、6个物品放入背包可以获得最大价值34。