证明13𝑛3+ 7n log n + 3 is O(𝑛3)
时间: 2024-05-18 16:16:39 浏览: 10
要证明13𝑛^3+ 7n log n + 3是O(𝑛^3),我们需要找到一个正常数C和一个正整数𝑛0,使得当𝑛≥𝑛0时,13𝑛^3+ 7n log n + 3 ≤ C𝑛^3。
我们可以将这个不等式分成两部分,分别考虑:
1. 当n趋近于正无穷时,13𝑛^3的增长速度远大于7n log n和3的增长速度,因此我们可以忽略后两项,得到13𝑛^3 ≤ 13𝑛^3。
2. 要证明13𝑛^3+ 7n log n + 3是O(𝑛^3),我们需要找到一个正常数C和一个正整数𝑛0,使得当𝑛≥𝑛0时,13𝑛^3+ 7n log n + 3 ≤ C𝑛^3。我们可以选择C=14(即13+7log2+3/𝑛^3),并且选择𝑛0=1,因为当𝑛≥1时,7n log n + 3 ≤ 7n^2 + 3n^2 = 10n^2,因此13𝑛^3+ 7n log n + 3 ≤ 13𝑛^3+ 10n^2 ≤ 14𝑛^3。
因此,我们可以得出结论:13𝑛^3+ 7n log n + 3是O(𝑛^3)。
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证明3 log n + log log n is O(log n )
要证明3 log n + log log n是O(log n),我们需要找到一个正常数C和一个正整数𝑛0,使得当𝑛≥𝑛0时,3 log n + log log n ≤ C log n。
我们可以使用下面的步骤来证明:
1. 对于任意正整数n,我们有n > log n > log log n,因为对于任意n,log n的值小于n,而log log n的值小于log n。
2. 因此,我们可以将3 log n + log log n表示为4 log n - log n + log log n。
3. 我们可以将右侧的所有项表示为log n的形式,得到4 log n - log n + log log n ≤ 4 log n。
4. 因此,我们可以选择C=4,并选择𝑛0=1,因为当𝑛≥1时,4 log n ≥ 3 log n + log log n。
因此,我们可以得出结论:3 log n + log log n是O(log n)。
10log3^n的时间复杂度
10log3^n 的时间复杂度是 O(nlogn)。
首先,我们可以将10log3^n 展开为10 * n * log3,其中n是输入大小。
对于时间复杂度来说,我们关注的是随着输入大小n的增加,算法所需的时间增加的速度。
从上式中可以看出,n 乘以一个常数10 * log3,在输入大小n增加的情况下,对于时间复杂度的影响是线性的。
同时,log3 是一个常数,对于时间复杂度的影响是常数级的。
因此,10log3^n 的时间复杂度是 O(nlogn)。