PINN深度学习求解微分方程系列一：求解框架代码

PINN（Physics-Informed Neural Networks）是一种结合了机器学习和数值分析的技术，用于解决物理方程。它利用神经网络作为函数近似器，并通过将神经网络的损失函数与物理方程的残差联系起来，让模型在训练过程中自动满足物理定律。在Python中，我们通常使用如TensorFlow或PyTorch这样的库来构建PINN模型。

以下是使用TensorFlow实现简单PINN求解微分方程的一个简化版求解框架代码示例：

import tensorflow as tf
from tensorflow.keras import layers

# 定义神经网络结构
def pinn_model(input_dim, output_dim):
    model = tf.keras.Sequential([
        layers.Dense(64, activation='relu', input_shape=(input_dim,)),
        layers.Dense(64, activation='relu'),
        layers.Dense(output_dim)
    ])
    return model

# 残差函数，表示物理方程
def residual(inputs, weights):
    net = inputs
    net = tf.concat([net[:, :2], net[:, 2:]], axis=-1)  # 假设是二维空间的一阶偏微分方程
    net = ...  # 这里添加你的物理方程计算部分
    return net

# 编码边界条件和初始值
def boundary_conditions(x_train, y_train):
    # 根据具体的问题编写边界条件处理函数
    ...

# 训练过程
optimizer = tf.optimizers.Adam()

for epoch in range(num_epochs):
    with tf.GradientTape() as tape:
        predictions = pinn_model(inputs)
        residuals = residual(inputs, pinn_model.weights)  # 获取网络预测值与物理方程的差
        boundary_loss = ...  # 计算边界条件的损失
        total_loss = ...  # 总损失 = 数据拟合损失 + 边界条件损失
    gradients = tape.gradient(total_loss, pinn_model.trainable_variables)
    optimizer.apply_gradients(zip(gradients, pinn_model.trainable_variables))

    if epoch % 10 == 0:
        print(f"Epoch {epoch}: Loss = {total_loss.numpy()}")