PINN深度学习求解微分方程系列一：求解框架（Poisson 1d） 代码

PINN（Physics-Informed Neural Networks）是一种深度学习方法，用于结合物理定律解决数值微分方程。在处理Poisson方程的一维情况时，我们通常会构建一个神经网络模型，该模型同时满足方程和边界条件。

下面是一个简单的Python示例，使用PyTorch库来演示如何构建一个PINN模型求解一维泊松方程。这里假设你知道基本的Tensor操作和自动微分：

import torch
from torch import nn

# 定义神经网络结构，这里使用一层隐藏层
class PINN(nn.Module):
    def __init__(self, input_dim, hidden_units=32):
        super(PINN, self).__init__()
        self.fc1 = nn.Linear(input_dim, hidden_units)
        self.fc2 = nn.Linear(hidden_units, 1)  # 输出层只有一个值，对应于u(x)

    def forward(self, x):
        x = torch.relu(self.fc1(x))  # 使用ReLU激活函数
        u = self.fc2(x)
        return u

# 泊松方程：∇²u = f(x)
def poisson_eq(u, x):
    return torch.autograd.grad(u, x, create_graph=True)[0].pow(2) - f(x)  # 使用梯度计算二阶导数

# 边界条件
def boundary_conditions(u, x):
    # 这里假设左端点为0，右端点为1，边界条件为u(0)=g0, u(1)=g1
    bc_left = g0 * torch.ones_like(x[0])
    bc_right = g1 * torch.ones_like(x[-1])
    return bc_left, bc_right

# 假设f(x)和g0, g1已知，训练过程会优化网络参数使得损失函数最小化
def loss_function(model, x, u_true, eq_loss_weight=1., bc_loss_weight=1.):
    u_pred = model(x)  # 网络预测值
    eq_loss = eq_loss_weight * torch.mean(poisson_eq(u_pred, x).pow(2))
    bc_loss = bc_loss_weight * (torch.mean((u_pred - g0)**2 at left_boundary) + torch.mean((u_pred - g1)**2 at right_boundary))
    return eq_loss + bc_loss

# 填充实际数据，如输入点x，目标函数u_true，以及对应的边值g0, g1
x_train, u_train, g0, g1 = ...  # 根据具体问题填充
model = PINN(x_train.shape[1])
optimizer = torch.optim.Adam(model.parameters(), lr=0.001)  # 初始化优化器

for epoch in range(num_epochs):  # 训练循环
    optimizer.zero_grad()
    loss = loss_function(model, x_train, u_train)
    loss.backward()  # 反向传播
    optimizer.step()