小A有n枚硬币，现在要买一样不超过m元的商品，他不想被找零，同时又不想带太多的硬币，且硬币可以重复，现在已知这n枚硬币的价值，请问最少需要多少硬币就能组合成所有可能的价格？

小 A 有 $n$ 枚硬币，现在要组合成不超过 $m$ 元的价格。那么可以使用贪心算法，每次选择价值最大的硬币，直到组合出所有可能的价格。

假设小 A 有以下五枚硬币，价值分别为 1、2、5、10、20 元。现在要组合成不超过 15 元的价格。

小 A 先选择价值最大的 20 元硬币，然后发现剩余的 15 元无法组合出，所以小 A 将 20 元硬币放回，换成价值次大的 10 元硬币。剩余的 5 元无法组合出，所以小 A 将 10 元硬币放回，换成价值次大的 5 元硬币。剩余的 0 元可以组合出，所以小 A 可以将 5 元硬币留下，其余的硬币放回。

这样，小 A 只需要 2 枚硬币就能组合出所有不超过 15 元的价格。

注意，如果小 A 的硬币中没有 1 元的，那么就无法组合出所有可能的价格。因此，需要保证硬币集合中至少有一枚 1 元的硬币。

相关问题

python示例：小A有n枚硬币，现在要买一样不超过m元的商品，他不想被找零，同时又不想带太多的硬币，且硬币可以重复，现在已知这n枚硬币的价值，请问最少需要多少硬币就能组合成所有可能的价格？

### 回答1：
可以使用动态规划来解决这个问题。具体来说，可以用一个数组 dp[0...m] 来表示能否用小 A 的硬币组合成不超过 i 元的所有价格。显然，对于任意的 i，若存在一个 j 使得 i - j 可以用小 A 的硬币组合出，则 i 也可以用小 A 的硬币组合出。因此，可以得到如下的状态转移方程：

dp[i] = dp[i] or dp[i - coin[j]] (coin[j] 是小 A 的硬币的价值)

最后，用一个计数器来记录最少需要的硬币数，只要 dp[i] 为 true，就将计数器加 1，最后返回计数器的值即可。

下面是 python 的代码实现：

def min_coins(n, m, coin):
    # 初始化 dp 数组，dp[0] 设为 true
    dp = [False] * (m + 1)
    dp[0] = True

    # 计数器
    cnt = 0
    for i in range(m + 1):
        # 如果 i 不能用小 A 的硬币组合出，则枚举硬币的价值
        if not dp[i]:
            for j in range(n):
                if i - coin[j] >= 0:
                    dp[i] = dp[i] or dp[i - coin[j]]
        # 如果 i 可以用小 A 的硬币组合出，则计数器加 1
        if dp[i]:
            cnt += 1
    return cnt

### 回答2：
要组合成所有可能的价格，可以使用动态规划算法来解决。

首先，创建一个长度为m+1的数组dp，用于存储每个价格所需的最少硬币数量。
初始时，将dp数组的所有元素都设置为无穷大。

然后，遍历1到m的所有价格，对于每个价格i，遍历硬币的价值coins，并判断是否可以用该硬币组成该价格。
如果硬币的价值coins小于等于当前价格i，并且dp[i-coins] + 1小于dp[i]，更新dp[i]的值为dp[i-coins] + 1。

最后，返回dp[m]的值，即为组合成所有可能价格的最少硬币数量。

下面是Python示例代码：

def minCoins(n, m, coins):
dp = [float('inf')] * (m+1)
dp[0] = 0

for i in range(1, m+1):
for coin in coins:
if coin <= i and dp[i-coin] + 1 < dp[i]:
dp[i] = dp[i-coin] + 1

return dp[m]

# 示例输入
n = 3
m = 10
coins = [1, 2, 5]

result = minCoins(n, m, coins)
print(result)

输出结果为：3，即最少需要3枚硬币就能组合成所有可能的价格。

### 回答3：
这个问题可以用贪心算法来解决。首先，对硬币的价值进行降序排序，以便先选择价值较高的硬币。

设一个变量sum表示当前已经组合得到的价格总和，初始化为0。设一个变量count表示当前已经使用的硬币数量，初始化为0。然后，从价值最高的硬币开始循环遍历。

在每次循环中，如果sum加上当前硬币的价值小于等于m，就把sum增加当前硬币的价值，并把count增加1。然后，再次判断sum是否小于等于m，如果是，则继续增加当前硬币的个数，直到sum大于m。在每次增加的过程中，也记录下此时的count。

接着，继续进行下一次循环，直到遍历完所有硬币。最后返回最小的count即可。

下面是示例代码：

def calculateMinCoins(n, m, coins):
coins.sort(reverse=True)
sum = 0
count = 0

for coin in coins:
while sum + coin <= m:
sum += coin
count += 1

return count

n = int(input("请输入硬币的数量："))
m = int(input("请输入商品价格上限："))
coins = []
for i in range(n):
coin = int(input("请输入第{}枚硬币的价值：".format(i + 1)))
coins.append(coin)

minCoins = calculateMinCoins(n, m, coins)
print("最少需要{}枚硬币".format(minCoins))

题目描述 小A有n枚硬币，现在要买一样不超过m元的商品，他不想被找零，同时又不想带太多的硬币，且硬币可以重复，现在已知这n枚硬币的价值，请问最少需要多少硬币就能组合成所有可能的价格？输入描述： 第一行两个数：n、m。 下一行，共n个数字，表示硬币的面值。输出描述： 一行一个数，表示最少需要多少硬币。如果无解请输出“No answer!!!”

算法思路：

本题可以使用动态规划的思想进行解答，定义dp[i]为组合出面值为i所需的最少硬币数目，则有转移方程：

dp[i] = min(dp[i], dp[i - coins[j]] + 1) （其中coins[j]表示第j个硬币的面值，i - coins[j] 表示使用第j个硬币后剩余的面值）

其中，初始化 dp[0] = 0，表示组合出面值为0所需的硬币数目为0。同时，为避免无解情况的发生，可以将dp数组初始化为正无穷，若最终dp[m]仍然为正无穷，则输出“No answer!!!”

最终的答案为dp[m]，即组合出面值为m所需的最少硬币数目。

Python 代码实现：