对数几率回归的损失函数

对数几率回归使用的损失函数通常是交叉熵损失函数，也称为对数损失函数。对于二分类问题，其数学表达式为：

$J(w)=-\frac{1}{N}\sum\limits_{i=1}^{N}\left[y^{(i)}\log(\hat{y}^{(i)})+(1-y^{(i)})\log(1-\hat{y}^{(i)})\right]$

其中，$w$ 是模型参数，$N$ 是样本数量，$y^{(i)}$ 是第 $i$ 个样本的真实标签，$\hat{y}^{(i)}$ 是模型对第 $i$ 个样本的预测值。交叉熵损失函数的本质是在衡量模型预测值和真实标签之间的差异，当模型预测值与真实标签一致时，损失函数最小。

相关问题

机器学习对数几率回归损失函数

### 对数几率回归损失函数解释

对数几率回归（Logistic Regression, LR）是一种广泛应用于分类问题中的统计方法。其核心在于通过构建概率模型来预测离散型变量的结果。

#### 损失函数定义

对于二元分类问题，设输入特征向量为 \( \mathbf{x} \)，对应的标签为 \( y\in\{0,1\} \) ，则对数几率回归的概率表达形式如下：

\[ P(y=1|\mathbf{x};\theta)=h_\theta(\mathbf{x})=\frac{1}{1+\exp(-\theta^\top\mathbf{x})}, \]

其中 \( h_\theta(\mathbf{x}) \) 表示给定参数 \( \theta \) 和样本 \( \mathbf{x} \) 下属于类别 1 的条件概率[^3]。

为了衡量模型预测值与真实值之间的差距，引入了损失函数的概念。在对数几率回归中，通常使用的损失函数是对数似然损失函数的负值，即交叉熵损失函数:

\[ L(\theta)=-\left[y\log(h_\theta(\mathbf{x}))+(1-y)\log(1-h_\theta(\mathbf{x}))\right]. \]

该公式能够有效地惩罚错误分类的情况，并且当实际标签接近于预测概率时趋于零[^4]。

#### 公式推导过程

考虑一组训练数据集 \( D={(x^{(i)},y^{(i)})}_{i=1}^m \)，目标是在所有可能的选择中找到使得整体可能性最大的那组参数 \( \theta \)[^2]。因此最大化下述连乘积的形式：

\[ p(D;\theta)=p((x,y)^{(1)};θ)p((x,y)^{(2)};θ)...p((x,y)^{(m)};θ). \]

取自然对数得到对数似然函数：

\[ l(\theta)=\sum_{i=1}^{m}\left[y^{(i)}\log(h_\theta(x^{(i)}))+(1−y^{(i)})\log(1−h_\theta(x^{(i)}))\right], \]

进一步转换成最小化的目标函数就是上述提到的平均化的负对数似然作为损失函数\(L(\theta)\):

\[ J(\theta) =-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}[y^{(i)}\log(h_\theta(x^{(i)}))+(1−y^{(i)})\log(1−h_\theta(x^{(i)}))] .\]

此过程中利用到了极大似然估计的思想以及信息论的相关理论基础[^1]。

import numpy as np

def sigmoid(z):
    return 1 / (1 + np.exp(-z))

def compute_loss(X, y, theta):
    m = len(y)
    predictions = sigmoid(np.dot(X, theta))
    
    loss = (-1/m) * (
        np.sum(
            y*np.log(predictions)+(1-y)*np.log(1-predictions)
        )
    )

    return loss

对数几率回归l函数凸函数

### 回答1：
对数几率回归的损失函数是负的对数似然函数，可表示为：

$L(\boldsymbol{\beta}) = -\sum_{i=1}^n [y_i\log(p_i) + (1-y_i)\log(1-p_i)]$

其中，$y_i$为第$i$个样本的真实标签，$p_i$为第$i$个样本属于正例的概率，$\boldsymbol{\beta}$为模型参数向量。

对$L(\boldsymbol{\beta})$求二阶导数，得到：

$\dfrac{\partial^2 L(\boldsymbol{\beta})}{\partial \boldsymbol{\beta}^2} = \sum_{i=1}^n p_i(1-p_i)\boldsymbol{x_i}\boldsymbol{x_i}^T$

由于$p_i$的取值在0到1之间，因此$p_i(1-p_i)$也在0到0.25之间，因此$\dfrac{\partial^2 L(\boldsymbol{\beta})}{\partial \boldsymbol{\beta}^2} \geq 0$，即$L(\boldsymbol{\beta})$是凸函数。

### 回答2：
对数几率回归（Logistic Regression）是一种常用的分类算法，其目标是通过构建一个逻辑函数，来预测样本属于某个类别的概率。

对数几率回归的逻辑函数是sigmoid函数，表示为：

h(z) = 1 / (1 + e^(-z))

其中，z是线性组合的形式，即：

z = θ^T * x

其中，θ是模型参数，x表示输入的特征向量。

对数几率回归的损失函数为负的对数似然函数（Negative Log-Likelihood），表示为：

J(θ) = -1/m * ∑[y * log(h(x)) + (1-y) * log(1-h(x))]

其中，m代表样本数量，y是样本的真实标签。

我们可以对对数似然函数求二阶导数，来判断其是否是凸函数。二阶导数矩阵也称为Hessian矩阵。

对于对数似然函数而言，其Hessian矩阵是对称正定的，即非负的特征值矩阵。这是因为Hessian矩阵的对角线元素是对数几率函数概率的乘积项，由于概率取值在(0,1)，所以这些乘积项是非负的。而非对角线元素是对数几率函数概率的差值的乘积项，同样也是非负的。

由于Hessian矩阵是对称正定的，根据凸函数的定义，对数似然函数是凸函数。

因此，对数几率回归的对数似然函数是凸函数。这保证了求解最优模型参数的优化问题是一个凸优化问题，可以通过常见的优化算法（如梯度下降法）来求解最优解。

### 回答3：
对数几率回归(LR)是一种广泛应用于分类问题的机器学习算法。其基本原理是利用Logistic函数将线性回归模型的输出转化为概率，并通过最大似然估计求解模型参数。

在LR中，假设输入数据为x，权重参数为w，偏置参数为b，则模型输出可以表示为z = wx + b。然后，将z通过Logistic函数进行映射，得到预测概率p = sigmoid(z)。sigmoid函数是一个S形函数，其定义为sigmoid(z) = 1 / (1 + exp(-z))。

对数几率回归的l函数（loss function）是用来衡量模型预测值与真实值之间的差距的函数。常用的l函数是交叉熵损失函数（cross-entropy loss），其定义为L(p, y) = -y * log(p) - (1 - y) * log(1 - p)，其中p为模型的预测概率，y为真实标签（取值为0或1）。

对数几率回归的l函数是凸函数。这是因为交叉熵损失函数可以被看作是负对数似然函数，而负对数似然函数的二阶导数为半正定矩阵。根据凸函数的定义，如果一个函数的二阶导数恒大于等于零，那么该函数就是凸函数。因此，对数几率回归的l函数是凸函数。

凸函数具有许多有益的性质，例如全局最优解和局部最优解是相同的，可以使用梯度下降等优化算法高效地求解。对数几率回归作为凸函数，确保了模型优化的稳定性和可靠性，因此在实际应用中得到了广泛的应用。