混合整数线性规划的例子

一个混合整数线性规划的例子可以是以下问题：

假设你是一家餐厅的经理，你需要制定一个菜单，使得总成本最小化，同时满足以下要求：

1. 每个菜品的成本不同，但是需要保证每个菜品的食材成分比例是固定的。
2. 每个菜品需要至少制作一份。
3. 每个菜品的制作数量需要是整数。

我们可以用以下变量来表示问题：

1. $c_i$：第 $i$ 个菜品的成本。
2. $x_{ij}$：第 $i$ 个菜品中第 $j$ 种食材的数量。
3. $y_i$：第 $i$ 个菜品的制作数量。

那么，该问题的目标函数可以表示为：

$$
\min \sum_{i=1}^n c_i y_i
$$

其中 $n$ 表示菜品的数量。

同时，我们需要满足以下约束条件：

1. 每个菜品的制作数量需要是整数：

$$
y_i \in \mathbb{Z}^+, \forall i \in [1,n]
$$

2. 每个菜品需要至少制作一份：

$$
y_i \geq 1, \forall i \in [1,n]
$$

3. 每个菜品的食材成分比例需要满足要求：

$$
\sum_{j=1}^m x_{ij} = y_i, \forall i \in [1,n]
$$
$$
\frac{x_{ij}}{y_i} = p_{ij}, \forall i \in [1,n], j \in [1,m]
$$

其中 $m$ 表示食材的数量，$p_{ij}$ 表示第 $i$ 个菜品中第 $j$ 种食材的比例。

这里的约束条件都是线性的，但是第一个约束条件中的 $y_i$ 是整数，因此这是一个混合整数线性规划问题。可以使用相关的求解器来求解这个问题。