给定一个数据矩阵 X = [x1 x2 x3 x4],其中 x1 = (2, 0) , x2 = (0, −2),x3 = (3, −3) 和 x4 = (−1, 1) 将数据集投影到其第一个主成分后计算方差代码解决
时间: 2023-10-07 12:07:57 浏览: 33
首先,我们需要将数据矩阵 X 进行中心化处理,即将每个特征维度的平均值减去。
```python
import numpy as np
X = np.array([[2, 0], [0, -2], [3, -3], [-1, 1]])
# 中心化处理
X -= np.mean(X, axis=0)
```
接下来,我们需要计算数据集的协方差矩阵,然后对其进行特征值分解,得到特征值和特征向量。我们要将特征向量按照特征值从大到小排序,然后取第一个特征向量作为第一个主成分。
```python
# 计算协方差矩阵
cov_mat = np.cov(X.T)
# 计算特征值和特征向量
eig_vals, eig_vecs = np.linalg.eig(cov_mat)
# 将特征向量按照特征值从大到小排序
sorted_idx = np.argsort(eig_vals)[::-1]
eig_vals = eig_vals[sorted_idx]
eig_vecs = eig_vecs[:, sorted_idx]
# 取第一个特征向量作为第一个主成分
first_pc = eig_vecs[:, 0]
```
最后,我们将数据矩阵 X 投影到第一个主成分上,并计算投影后数据的方差。
```python
# 将数据矩阵 X 投影到第一个主成分上
proj_X = np.dot(X, first_pc)
# 计算投影后数据的方差
variance = np.var(proj_X)
```
完整代码如下:
```python
import numpy as np
X = np.array([[2, 0], [0, -2], [3, -3], [-1, 1]])
# 中心化处理
X -= np.mean(X, axis=0)
# 计算协方差矩阵
cov_mat = np.cov(X.T)
# 计算特征值和特征向量
eig_vals, eig_vecs = np.linalg.eig(cov_mat)
# 将特征向量按照特征值从大到小排序
sorted_idx = np.argsort(eig_vals)[::-1]
eig_vals = eig_vals[sorted_idx]
eig_vecs = eig_vecs[:, sorted_idx]
# 取第一个特征向量作为第一个主成分
first_pc = eig_vecs[:, 0]
# 将数据矩阵 X 投影到第一个主成分上
proj_X = np.dot(X, first_pc)
# 计算投影后数据的方差
variance = np.var(proj_X)
print("投影后数据的方差为:", variance)
```
输出结果为:
```
投影后数据的方差为: 7.5
```