Let C be an (n,k,d)q code. Then prove that fixing any n −d +1 positions uniquely determines the corresponding codeword.中文回答
时间: 2024-03-15 22:41:36 浏览: 18
题目要求证明,对于一个(n,k,d)q码,任意固定n-d+1个位置,都能唯一确定对应的码字。
假设存在两个码字c1和c2,它们在固定的n-d+1个位置上是相同的,但是它们不相等。也就是说,在这n-d+1个位置上,c1和c2的差异是在其他位置上。那么,它们之间的汉明距离就是这些差异的数量,也就是大于等于d的。
但是,我们知道C码的最小距离为d,也就是说,c1和c2的汉明距离小于d,这与前面的假设矛盾。因此,不存在两个在这n-d+1个位置上相同的码字,也就是说,这n-d+1个位置能够唯一确定对应的码字。
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In this exercise, we will prove the so called Griesmer Bound. For any [n,k,d]q , prove that n ≥ k−1 i X=0 » q d i ¼中文回答
这题是要证明 Griesmer Bound ,对于任意 [n,k,d]q ,有 n ≥ k−1 i X=0 » q d i ¼。
证明如下:
考虑构造一个 k-1 阶的仿射空间 AG(k-1,q),其中每个点代表一个 k-1 阶的多项式。此时,我们可以将每个 n 阶的多项式表示成一个 k-1 阶的多项式加上一个 k-1 阶以下的余项。
假设 d 是该码的最小距离,那么存在一个非零多项式 f(x) 使得它的次数小于 d,但是每个非零多项式 g(x) 满足 f(x) 和 g(x) 乘积的次数都大于等于 d。这意味着我们可以用 f(x) 来表示该码中的每个非零多项式。
此外,我们知道一个 k-1 阶的多项式最多有 q^(k-1) 个不同的系数,所以 AG(k-1,q) 中最多有 q^(k-1) 个点。由于 f(x) 的次数小于 d,所以它至多有 q^d 个根。因此,对于任意一个非零多项式 g(x),它和 f(x) 的乘积最多有 q^d 个根,这些根对应着 AG(k-1,q) 的一些点,因此码中的非零多项式数量最多为 q^(k-1) / q^d = q^(k-d-1) 个。
因此,我们得出结论:n ≥ k-1 + q^(k-d-1)。
Prove the following statements (recall that the notation (n,k,d)q code is used for general codes with qk codewords where k need not be an integer, whereas the notation [n,k,d]q code stands for a linear code of dimension k):3. If there exists an [n,k,d]q code, then there also exists an [n −d,k −1,d ′ ≥ ⌈d/q⌉]q code.用中文回答
这个结论可以证明如下:假设存在一个线性码 C,它是一个 [n,k,d]q 码,即它有 q^k 个码字,每个码字长度为 n,最小距离为 d。我们可以构造一个新的码 D,它的码字集合为 C 中所有长度为 d 的码字的补集。也就是说,D 中的码字是 C 中所有长度不为 d 的码字。显然,D 中的码字个数为 q^k - A_d(n,d),其中 A_d(n,d) 表示长度为 n,最小距离为 d 的码字数。因为 C 是一个线性码,所以 D 也是一个线性码。
现在我们来证明 D 是一个 [n - d, k - 1, d' ]q 码,其中 d' ≥ ⌈d/q⌉。首先,D 的码字长度为 n - d,这是因为它只包含了 C 中长度不为 d 的码字。其次,D 的维数为 k - 1,因为我们从 C 中删除了一个长度为 d 的码字,因此 D 中的码字个数比 C 少了 q^(k-1) 个。最后,我们来计算 D 的最小距离 d'。对于任意一个 D 中的码字,它一定与 C 中的某个长度为 d 的码字的距离不超过 d。因此,D 中的任意两个不同码字的距离都不会小于 ⌈d/q⌉。否则,如果 D 中有两个距离小于 ⌈d/q⌉ 的码字,它们必然与 C 中同一个长度为 d 的码字的距离都小于 d,这就与 C 的最小距离为 d 矛盾了。因此,我们得到了 d' ≥ ⌈d/q⌉。
因此,我们成功地构造了一个 [n - d, k - 1, d' ]q 码 D,它的存在性表明了如果存在一个 [n,k,d]q 码,那么必然存在一个 [n - d, k - 1, d' ]q 码。