prove that if t is bounded, everywheredefined, an isometry, then ran t i
时间: 2023-09-22 16:01:49 浏览: 49
要证明如果 t 是一个有界的、处处有定义的等距映射,那么 ran t 是全空间 V。首先,我们需要了解等距映射的性质。
一个映射 t 称为等距映射,如果它保持了两个向量之间的距离。也就是说,对于 V 中的任意两个向量 u 和 v,有 ||t(u) - t(v)|| = ||u - v||,其中 ||.|| 是向量的范数。
假设 t 是有界的,这意味着对于 V 中的任意向量 u,有 ||t(u)||≤ M,对于某个 M>0。从而对于任意 v∈ V,我们有 ||t(u) - t(u+v)|| = ||u - (u+v)|| = ||-v|| = ||v||,因此 ||t(u+v)|| = ||t(u) - t(u+v)||≤ ||u+v|| ≤ ||u|| + ||v||。
通过以上的不等式,我们可以证明 t 是一个开映射。如果 t 不是开映射,那么存在一个向量 u0∈ V 和一个正实数 ε>0,使得对于所有的向量 v,满足 ||v|| < ε,有 ||t(u0 + v)|| ≥ ε。但是,根据上面的不等式,当取 v = -u0 时,我们有 ||t(u0)|| = ||t(0)|| = ||t(u0 - u0)|| = ||u0 - u0|| = 0,这与 t 是一个等距映射矛盾。
由于 t 是一个开映射,那么它必定将整个 V 映射到它的像空间上。因此,ran t = t(V) = V,即 ran t 是全空间 V。
综上所述,如果 t 是一个有界的、处处有定义的等距映射,则 ran t 是全空间 V。
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