Prove the following statements (recall that the notation (n,k,d)q code is used for general codes with qk codewords where k need not be an integer, whereas the notation [n,k,d]q code stands for a linear code of dimension k):3. If there exists an [n,k,d]q code, then there also exists an [n −d,k −1,d ′ ≥ ⌈d/q⌉]q code.用中文回答

这个结论可以证明如下：假设存在一个线性码 C，它是一个 [n,k,d]q 码，即它有 q^k 个码字，每个码字长度为 n，最小距离为 d。我们可以构造一个新的码 D，它的码字集合为 C 中所有长度为 d 的码字的补集。也就是说，D 中的码字是 C 中所有长度不为 d 的码字。显然，D 中的码字个数为 q^k - A_d(n,d)，其中 A_d(n,d) 表示长度为 n，最小距离为 d 的码字数。因为 C 是一个线性码，所以 D 也是一个线性码。

现在我们来证明 D 是一个 [n - d, k - 1, d' ]q 码，其中 d' ≥ ⌈d/q⌉。首先，D 的码字长度为 n - d，这是因为它只包含了 C 中长度不为 d 的码字。其次，D 的维数为 k - 1，因为我们从 C 中删除了一个长度为 d 的码字，因此 D 中的码字个数比 C 少了 q^(k-1) 个。最后，我们来计算 D 的最小距离 d'。对于任意一个 D 中的码字，它一定与 C 中的某个长度为 d 的码字的距离不超过 d。因此，D 中的任意两个不同码字的距离都不会小于 ⌈d/q⌉。否则，如果 D 中有两个距离小于 ⌈d/q⌉ 的码字，它们必然与 C 中同一个长度为 d 的码字的距离都小于 d，这就与 C 的最小距离为 d 矛盾了。因此，我们得到了 d' ≥ ⌈d/q⌉。

因此，我们成功地构造了一个 [n - d, k - 1, d' ]q 码 D，它的存在性表明了如果存在一个 [n,k,d]q 码，那么必然存在一个 [n - d, k - 1, d' ]q 码。