Prove that∥p∥1 := |a| + |b| + |c|defines a norm on V .

根据向量范数的定义，要证明∥p∥1是V上的范数，需要满足以下三个条件：
1.非负性：对于任意的p∈V，有∥p∥1≥0，并且当且仅当p=0时，有∥p∥1=0。
2.齐次性：对于任意的p∈V和任意的实数α，有∥αp∥1=|α|∥p∥1。
3.三角不等式：对于任意的p,q∈V，有∥p+q∥1≤∥p∥1+∥q∥1。

首先证明非负性和齐次性：
1.对于任意的p=(a,b,c)∈V，有∥p∥1=|a|+|b|+|c|≥0，并且当且仅当p=0时，有∥p∥1=0。因为|a|、|b|和|c|都是非负数，所以它们的和也是非负数，当且仅当a=b=c=0时，和为0。
2.对于任意的p=(a,b,c)∈V和任意的实数α，有∥αp∥1=|αa|+|αb|+|αc|=|α||a|+|α||b|+|α||c|=|α|(|a|+|b|+|c|)=|α|∥p∥1。

接下来证明三角不等式：
对于任意的p=(a1,b1,c1)和q=(a2,b2,c2)∈V，有p+q=(a1+a2,b1+b2,c1+c2)，所以
∥p+q∥1=|a1+a2|+|b1+b2|+|c1+c2|
≤(|a1|+|a2|)+(|b1|+|b2|)+(|c1|+|c2|)
=|a1|+|b1|+|c1|+|a2|+|b2|+|c2|
=∥p∥1+∥q∥1
因此，∥p∥1 := |a| + |b| + |c|是V上的范数。