证明:R"中任意可测集都可以分解成可数个测度有限的可测集的并

### 回答1：
设 $E$ 是 $\mathbb{R}$ 上的一个可测集。

由于 $\mathbb{R}$ 是一个 $\sigma$-有限测度空间，因此存在可数个测度有限的集合 $A_1,A_2,\ldots,A_n,\ldots$，使得 $\mathbb{R}=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n$。

注意到对于任意正整数 $n$，都有 $E \cap A_n \subseteq A_n$，因此 $E \cap A_n$ 也是测度有限的可测集。

现在我们考虑将 $E$ 拆分成可数个测度有限的可测集的并。我们定义：

$$E_n=E \cap A_n$$

则 $\{E_n\}_{n=1}^{\infty}$ 是一个可数个测度有限的可测集族。

现在我们来证明 $E=\bigcup_{n=1}^{\infty}E_n$。

对于任意 $x \in E$，由于 $\mathbb{R}=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n$，因此 $x \in A_k$ 的某个 $k$。于是 $x \in E \cap A_k=E_k$，故 $E \subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty}E_n$。

另一方面，对于任意 $x \in \bigcup_{n=1}^{\infty}E_n$，存在某个 $k$ 使得 $x \in E_k$。由于 $E_k \subseteq A_k$，因此 $x \in A_k$。又因为 $\mathbb{R}=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n$，所以 $x \in \mathbb{R}$。故 $\bigcup_{n=1}^{\infty}E_n \subseteq E$。

综上所述，我们证明了 $E=\bigcup_{n=1}^{\infty}E_n$，即 $E$ 可以分解成可数个测度有限的可测集的并。

### 回答2：
要证明R"（R的二次曲线）中任意可测集都可以分解成可数个测度有限的可测集的并，可以按照以下步骤进行证明：

首先，我们知道R"是一个二维平面，可测集是指Lebesgue可测集。我们可以定义可测集的面积来度量其大小。对于测度有限的可测集，其面积是有界的。

其次，设A是R"中的任意可测集。我们可以利用可测集的内测度和外测度进行分解。

内测度可以通过将A用包含于A内的开矩形逼近得到。我们可以将A分解为可数个内测度有限的可测集的并。对于每个内测度有限的可测集Ai，我们都可以计算其面积。

外测度可以通过将A用包含A的闭矩形逼近得到。类似地，我们可以将A分解为可数个外测度有限的可测集的并。对于每个外测度有限的可测集Bi，我们也可以计算其面积。

然后，我们可以将内测度有限的可测集和外测度有限的可测集的并进行交集运算。这样，我们得到的可测集既是可测的，又是面积有界的。这是由于内测度有限的可测集的并在测度上是可数可加的，而外测度有限的可测集的交集在测度上小于一个固定的值。

最后，我们可以利用完全可加性将所有的可测集的并转化为可数个递增序列的并。这样，我们就得到了一个可数个测度有限的可测集的并，而它们的并等于原来的可测集A。

综上所述，R"中任意可测集都可以分解成可数个测度有限的可测集的并。

### 回答3：
我们考虑R"中的任意可测集E。由于E是可测的，我们可以构造一个序列{E_n}，其中每个E_n都是有限测度的可测集，且它们逐渐逼近E，即E_n逐渐包含在E内，并且测度之差逐渐趋近于0。具体地说，对于任意正整数n，令E_n为E与开球B(0,n)，即半径为n的球心在原点的开球，的交集。显然，E_n是可测的，且有限测度。

现在我们考虑集合F，它由所有E_n的并组成，即F = ∪(n=1 to ∞) E_n。我们需要证明F与E是等测的，即它们的测度相等。

首先，我们可以看到对于任意n，有E_n包含在E内，因此F包含在E内。其次，对于任意n，有E包含在B(0,n)内，而E_n是E与B(0,n)的交集，因此E_n包含在E内。这说明F包含在E内。

现在我们来考虑测度之差。由于E_n逐渐逼近E，我们可以得到：
m(E) - m(E_n) ≤ m(E - E_n)

右边的m(E - E_n)表示E与E_n的差集的测度，显然它是非负的。因此我们可以得到：
m(E) - m(E_n) ≤ m(E)

因此，对于任意正整数n，有：
m(E) ≤ m(E_n) ≤ m(E)

也就是说，E_n和E的测度之差逐渐趋近于0。这说明F与E是测度相等的。

综上所述，我们证明了R"中任意可测集E可以分解成可数个测度有限的可测集的并。