1+1+2+1+2+3+...+1+2+3+...+n求和推导
时间: 2023-11-13 11:04:11 浏览: 574
这个问题可以使用立方差法来解决。首先,我们可以将这个求和式写成以下形式:
1 + (1+2) + (1+2+3) + ... + (1+2+3+...+n)
接下来,我们可以将每个括号中的项分别展开,得到:
1 + 1 + 2 + 1 + 2 + 3 + 1 + 2 + 3 + ... + 1 + 2 + 3 + ... + n
现在,我们可以将这些项重新排列,将所有的1相加,所有的2相加,所有的3相加,以此类推,得到:
(1+1+...+1) + (2+2+...+2) + (3+3+...+3) + ... + (n+n+...+n)
其中,每个括号中的数字出现的次数分别为1、2、3、...、n。因此,我们可以将这个式子简化为:
1* n + 2* (n-1) + 3* (n-2) + ... + n* 1
现在,我们可以使用立方差公式来求解这个式子。具体来说,我们可以将这个式子看作是一个二次函数的离散形式,然后使用立方差公式来求解。最终,我们可以得到以下结果:
1+1+2+1+2+3+...+1+2+3+...+n = n*(n+1)*(n+2)/6
--相关问题--:
1. 如何使用立方差法来求解其他的求和式?
2. 什么是二次函数?
3. 如何证明立方差公式的正确性?
相关问题
1+3/2+….+(2n-1)/n!
### 回答1:
这是一个数列求和的问题,数列的通项公式为 (2k-1)/k!,其中 k 从 1 取到 n。
将每一项代入公式,得到:
1+3/2+5/6+7/24+...+(2n-1)/n!
需要将每一项化简成通分数,然后再求和。具体步骤如下:
1. 将每一项的分母化成 k! 的形式,即:
1 = 1!/1!
3/2 = 3!/2!/3
5/6 = 3!/2!/3 * 5/4
7/24 = 3!/2!/3 * 5/4 * 7/6
...
2. 将每一项的分子化成 2k-1 的形式,即:
1 = 2*1-1
3/2 = 2*2-1
5/6 = 2*3-1
7/24 = 2*4-1
...
3. 将每一项的分子分母相乘,得到:
1 = 1!/1!
3/2 = 3!/2!/3
5/6 = 3!/2!/3 * 5/4
7/24 = 3!/2!/3 * 5/4 * 7/6
...
4. 将每一项相加,得到最终的结果:
1+3/2+5/6+7/24+...+(2n-1)/n! = (1+3+5/2+7/6+...+(2n-1)/(n-1)!)/n!
其中,分子的部分是一个等差数列,公差为 1,首项为 1,末项为 2n-1。根据等差数列求和公式,可得:
1+3+5/2+7/6+...+(2n-1)/(n-1)! = n!(2n-1)/(n+1)
将其代入原式,得到:
1+3/2+5/6+7/24+...+(2n-1)/n! = (n!(2n-1)/(n+1))/n!
化简可得:
1+3/2+5/6+7/24+...+(2n-1)/n! = (2n-1)/(n+1)
因此,原式的结果为 (2n-1)/(n+1)。
### 回答2:
这个数列的通项公式可以写为:(2n-1)/n!。
其中,“n!”表示n的阶乘,即n的所有正整数乘积,例如3!=3×2×1=6。因为阶乘的增长速度非常快,所以当n变得很大时,分母n!的影响会变得越来越大,而分子2n-1的影响会变得越来越小,因此数列的通项公式趋近于0。
此外,对于每个n,(2n-1)/n!的值都是正数,因为分子2n-1是奇数,分母n!是正整数,所以其值必须是正的。
换句话说,这是一个非常逐渐递减的正数数列,其值越来越接近于0,直到最后几乎为0。实际上,在n趋近于无穷大时,这个数列的极限为0,可以用数学方法证明。
总之,这个数列的通项公式为(2n-1)/n!,它是一个非常小的逐渐递减的正数数列,趋近于0,并且在n趋近于无穷大时,其极限为0。
### 回答3:
首先要理解题目中的表达式。这是一个数列,每一项的分子是奇数数列(1,3,5,7,9……)从1开始第n项的数,分母是从1开始的n的阶乘(1!,2!,3!,4!……)。
我们可以通过一些计算来推导出数列的通项公式。假设数列的通项公式是an=m/n!,其中m是一个关于n的函数,那么我们可以通过递推式来计算这个函数的值。
根据递推式,我们可以列出以下的等式:
an = (2n-1)/(n!) = (2n-1)/(n(n-1)!) = 2(n-1)+1/(n-1)!n
an-1 = (2n-3)/((n-1)!) = (2n-3)/((n-1)(n-2)!)) = 2(n-2)+1/((n-2)!)(n-1)
因为an-1和an都有分母是(n-1)!的部分,我们可以消去它们,然后得到以下的等式:
an = [(2n-1)/n]an-1
我们可以通过递推得出:
a1 = 1/1!
a2 = 3/2!
a3 = 5/3!
……
an = [(2n-1)/n]an-1
我们可以通过上面的递推式计算出更多项,然后发现这个数列的通项公式是:
an = (2n-1)/n!
现在我们可以证明这个公式,然后验证它的正确性。我们可以通过数学归纳法来证明这个公式。首先,当n=1时,公式成立,因为:
a1 = (2×1-1)/1! = 1/1!
式子左边的值为a1,等于式子右边的值,所以公式成立。
然后,假设当n=k时,公式也成立,即:
ak = (2k-1)/k!
我们需要证明当n=k+1时,公式也成立,那么:
ak+1 = (2(k+1)-1)/(k+1)!
= (2k+1)/(k+1)×(2k-1)/k!
= [(2k+1)/k]×[(2k-1)/k!]
= [(2k-1)/k!]×[(2k+1)/k+1]
= ak×[(2k+1)/(k+1)]
这个式子和递推式是一样的,所以我们已经证明了这个公式成立。
因此,我们可以得出这个数列的通项公式是an=(2n-1)/n!,这个公式是正确的。
(4)输入整数n值,求1+2+3+.*+n!. θ
这道题可以使用循环来实现。具体的方法是使用一个变量sum来记录累加和,然后从1循环到n,每次将当前的数字加到sum中,最后返回sum的值即可。
另外,题目中似乎出现了笔误,应该是求1+2+3+...+n的和,而不是n的阶乘。
下面是一个Python的实现:
```python
def sum_n(n):
sum = 0
for i in range(1, n+1):
sum += i
return sum
```
这个函数的时间复杂度为O(n),因为需要循环n次。如果使用数学公式求和,可以将时间复杂度降为O(1)。公式为:
```
sum = n * (n+1) / 2
```
这个公式的推导可以参考高斯求和。因此,我们可以进一步优化上面的代码:
```python
def sum_n(n):
return n * (n+1) // 2
```
这个函数的时间复杂度为O(1)。