数列为1/(2n+1),前n项和等于什么,并说出推到过程
时间: 2023-09-25 15:06:44 浏览: 236
### 回答1:
这个数列为1/(2n1),前n项和为1/2。推导过程如下:
首先,可以将这个数列的通项公式写成1/(2n1)=1/2(1/n - 1/(n+1))。
接着,将这个公式代入前n项和的式子中,得到前n项和Sn=1/2(1/1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + ... + 1/n - 1/(n+1))。
化简上式,发现中间的项全部可以消去,留下Sn=1/2(1 - 1/(n+1))=(n/(n+1))/2。
因此,这个数列的前n项和为(n/(n+1))/2,其中n为正整数。
### 回答2:
数列为1/(2n 1)。
要求前n项和,即求1/1 + 1/3 + 1/5 + … + 1/(2n-1)的和。
推导过程如下:
先计算前n项的和:
S(n) = 1/1 + 1/3 + 1/5 + … + 1/(2n-1)
将每一项的分母乘以2,得到:
2S(n) = 2/1 + 2/3 + 2/5 + … + 2/(2n-1)
再将2S(n)与S(n)相减,得到:
2S(n) - S(n) = (2/1 + 2/3 + 2/5 + … + 2/(2n-1)) - (1/1 + 1/3 + 1/5 + … + 1/(2n-1))
化简得到:
S(n) = (2/1 + 2/3 + 2/5 + … + 2/(2n-1)) - (1/1 + 1/3 + 1/5 + … + 1/(2n-1))
分别合并求和:
S(n) = (2-1)/1 + (2-1)/3 + (2-1)/5 + … + (2-1)/(2n-1)
化简得到:
S(n) = 1/1 + 1/3 + 1/5 + … + 1/(2n-1)
可以看出,两次求和的结果完全相同。所以前n项和为1/1 + 1/3 + 1/5 + … + 1/(2n-1)。
答案为前n项和为1/1 + 1/3 + 1/5 + … + 1/(2n-1)。
### 回答3:
数列为1/(2n+1)。要求前n项和,可以先考虑前n+1项和,即S(n+1)。所以题目可以转化为求1到n+1项的总和,再减去第一项的值1。
数列的通项公式为1/(2n+1),总和可以表示为:
S(n+1) = 1/(2·1+1) + 1/(2·2+1) + ... + 1/(2·n+1) + 1/(2·(n+1)+1)。
推导过程如下:
将总和S(n+1)中倒数第二项的分母展开:
S(n+1) = 1/(2·1+1) + 1/(2·2+1) + ... + 1/(2·n+1) + 1/(2·n+2+1)。
然后将最后一项的分数化简:
S(n+1) = 1/(1·(2·1+1)) + 1/(2·(2·2+1)) + ... + 1/(n·(2·n+1)) + 1/(n+1)·(2·(n+1)+1))。
然后找到每一项的公因式,即分母2的公因式:
S(n+1) = 1/(1·3) + 1/(2·3) + ... + 1/(n·(2n+1)) + 1/(n+1)·(2n+3)·2)。
再将每一项的分数加起来:
S(n+1) = [1/(1·3) + 1/(2·3)] + ... + [1/(n·(2n+1)) + 1/(n+1)·(2n+3)·2)]。
即:
S(n+1) = [1/3 - 1/1] + [1/5 - 1/3] + ... + [1/(2n+1) - 1/(2n-1)] + [1/(2n+3)·2 - 1/(2n+1)]。
化简得:
S(n+1) = 1/(2n+3)·2 - 1/1。
即:
S(n+1) = 1/(2n+3)·2 - 1。
最后,前n项和等于S(n+1)减去第一项1:
前n项和 = S(n+1) - 1 = 1/(2n+3)·2 - 1。