bn=1/2n(2n-1)求前n项和

可以使用数学归纳法证明，对于任意正整数n，都有：

bn = 1/2n(2n-1)

根据等差数列的求和公式，前n项和为：

Sn = n/2 * (a1+an)

其中a1=1，an=b(n)，代入bn的公式，得到：

an = 1/2n(2n-1)

将a1和an代入上面的求和公式，得到：

Sn = n/2 * [1 + 1/2 + 2/4 + ... + (n-1)/2n]

将分式(n-1)/2n拆分成(n/2n)-(1/2n)，得到：

Sn = n/2 * [1 + 1/2 + 1/2 + ... + 1/2 - 1/2n]

化简得：

Sn = n/2 * [1 + (n-1)/2n]

Sn = n/2 * [n/2n + 1/2n]

Sn = n/4 + 1/4 * n(n-1)

因此，前n项和为：

Sn = n/4 + 1/4 * n(n-1) = n(2n-1)/4

所以，bn=1/2n(2n-1)的前n项和为n(2n-1)/4。

相关问题

C语言编写一个函数sumFirstNTerm，求数列{an}的前n项和；然后，分别用函数sumFirstNTerm计算如下数列：an=3n-2, bn=3×2n-1+4n2-1的前5项和，测试结果是否准确。

在C语言中，我们可以创建一个通用函数`sumFirstNTerm`，接受一个整型数组、元素个数以及对应的公式作为参数，来计算数列的前n项和。以下是这个函数的基本结构：

#include <stdio.h>

// 函数声明，传入公式描述数组，返回前n项和
double sumFirstNTerm(int n, int (*calcTerm)(int i)) {
    double sum = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        sum += calcTerm(i);
    }
    return sum;
}

// 计算an=3n-2的函数实现
int calculate_an(int i) {
    return 3 * i - 2;
}

// 计算bn=3*2^n-1+4n^2-1的函数实现
int calculate_bn(int i) {
    return 3 * pow(2, i) - 1 + 4 * pow(i, 2) - 1;
}

int main() {
    int n = 5;
    
    // 使用sumFirstNTerm计算数列an的前5项和
    double sum_an = sumFirstNTerm(n, calculate_an);
    printf("The sum of the first 5 terms in an = 3n-2 is: %.2f\n", sum_an);

    // 使用sumFirstNTerm计算数列bn的前5项和
    double sum_bn = sumFirstNTerm(n, calculate_bn);
    printf("The sum of the first 5 terms in bn = 3*2^n-1+4n^2-1 is: %.2f\n", sum_bn);

    // 检查结果是否正确
    if (sum_an == expected_sum_an && sum_bn == expected_sum_bn) {
        printf("Test results are accurate.\n");
    } else {
        printf("Test results may be inaccurate.\n");
    }

    return 0;
}

在这个程序中，你需要先确定期望的`an`和`bn`数列的前5项和(`expected_sum_an`和`expected_sum_bn`)，然后在main函数中比较实际计算的结果。如果两者相等，则说明计算正确。

an=2n+1，当n大于等于2^（k-1）小于等于2^k-1时，有bn-1小于an小于bn ，求bn的通项公式，并求出bn的前n项和

我们可以将an=2n+1表示为n=(an-1)/2，然后将n代入bn-1小于an小于bn中，得到：

bn-1 < (an-1)/2 < bn

将an=2n+1代入上式，得到：

bn-1 < n < bn-1/2

因此，bn的通项公式为：

bn = ⌈(an+1)/2⌉

其中，⌈x⌉表示不小于x的最小整数。

将an=2n+1代入上式，得到：

bn = ⌈(2n+2)/2⌉ = n+1

因此，bn的通项公式为bn=n+1。

前n项和为：

b1 + b2 + ... + bn = (2+1) + (4+1) + ... + (2n+1)

= (1+2+...+n) + n

= n(n+1)/2 + n

= (n+1)(n+2)/2

因此，bn的前n项和为(n+1)(n+2)/2。