三维向量的点乘和叉乘

三维向量的点乘（内积）和叉乘（外积）是线性代数中的两个基本运算。

1. **点乘**（也称标量积或 dot product），记作 `A·B` 或 `\vec{A} \cdot \vec{B}`，计算方法是将两个三维向量的对应分量相乘后求和。结果是一个标量值，表示两个向量之间的长度关系以及它们之间夹角的余弦值，公式为：

   A·B = A_x * B_x + A_y * B_y + A_z * B_z

2. **叉乘**（也称外积或 vector cross product），记作 `\vec{A} × \vec{B}`，它得到的是一个新的三维向量，其方向垂直于原两个向量所在的平面，并且长度等于这两个向量构成的平行四边形的面积。它的计算公式为：

   \vec{A} × \vec{B} = (A_y * B_z - A_z * B_y) \hat{i} + (A_z * B_x - A_x * B_z) \hat{j} + (A_x * B_y - A_y * B_x) \hat{k}

其中 `\hat{i}`, `\hat{j}`, `\hat{k}` 分别是直角坐标系下的三个正交单位向量。